NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Propriétés – Curiosités

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Types de triangles

 

Triangle

 

Polygones

Point Milieu

Droites et points

Pappus

Point et triangles

Angles (180°)

Quantité de triangles

Torricelli

Triangles et triangles

Quatre triangles

Heilbron

Carrés triangles

Représentation

Brocard

Cercles et triangles

Triangles dans les polygones

 

Sommaire de cette page

>>> Triangles formés par les diagonales

>>> Triangle & segments dans les polygones

>>> Quadrilatère

>>> Pentagone

>>> Hexagone

>>> Quantité de points d'intersection

>>> Bilan

 

 

 

 

 

DIAGONALES

Quantité de triangles dans les polygones

 

Trouver le nombre de triangles dans une figure simple n'est pas compliqué avec un peu de méthode. Souvent l'objet de devinettes de concours.

Ici, nous allons découvrir les triangles formés par les diagonales dans un  polygone dans le cas le plus général (polygones non-réguliers).

 

Quantités de triangles dans un polygone

… 11 297, 17 234, 25 935, 37 424, 53 516, 73 404, 101 745, 136 200, 181 279, 236 258, 306 383, 389 264, 495 650, 620 048, 772 785, 951 384, 1 167 453, 1 410 350, 1 716 191, 2 058 848, 2 463 384, 2 924 000, 3 462 305, 4 067 028, 4 776 219, 5 568 786, 6 479 551 …

Voir Noms des polygones

 

 

Triangles formés par les diagonales

Déterminer la quantité de triangles formés en joignant les sommets d'un polygone est très simple: c'est la quantité de combinaisons de trois points parmi n sommets:

Nous cherchons plus: tous les triangles visibles formés par toutes les intersections. Le décompte est plus complexe.

Pour l'hexagone Q = 20 et les triangles formés sont:

[A, B, C], [A, B, D], [A, B, E], [A, B, F],

[A, C, D], [A, C, E], [A, C, F], [A, D, E],

[A, D, F], [A, E, F], [B, C, D], [B, C, E],

[B, C, F], [B, D, E], [B, D, F], [B, E, F],

 [C, D, E], [C, D, F], [C, E, F], [D, E, F]

 

 

 

Triangle & segments dans les polygones

 

S'il est évident qu'il n'y a qu'un seul triangle dans un triangle, profitons-en pour faire le point sur la quantité de segments dans les polygones.

 

Note: Quantité de diagonales = quantité de segments  moins quantité de côtés.

 

Triangle

 

Segments

 

 

 

 

 

 

Quadrilatère

 

Tous les triangles

Combien de triangles visibles dans ce quadrilatère ? Pas très compliqué: 4 petits et 4 plus gros; total 8.

Voyons selon la méthode exhaustive:

Les HUIT triangles du quadrilatère

 

 

 

Combien de triangles pour relier quatre points ?

Combien faut-il de triangles, au minimum, pour relier tous les sommets d'un quadrilatère ?

La réponse est trois. Pourquoi ?

 

Chaque triangle relie trois points, soit deux couples de points. Le problème consiste donc à dessiner des triangles tels que tous les couples de points soient reliés avec le minimum de redondances.

 

Une solution

La colonne de gauche montre les six couples de points à relier.

En plaçant les triangles 123 et 234, par exemple, seuls cinq couples sont couverts, nécessitant un triangle de plus, par exemple 124.

Trois triangles sont nécessaires pour couvrir tous les sommets du quadrilatère

 

Après avoir choisi les triangles 123 et 234, il existe deux possibilités pour atteindre le couple 14:

*      soit le triangle 124,

*      ou alors le triangle 134.

 

Notation: le A renversé veut dire: quelconque, ou au choix. Ici, les traits verts peuvent être réunis au point 2 ou au point 3, au choix.

 

La généralisation à tout polygone n'est pas évidente.

 

Voir  Grilles de jeu façon loto

 

 

 

Pentagone – 35 triangles

Méthode

Un décompte soigné montre que cette figure, formée avec un pentagone quelconque et ses diagonales, comporte 35 triangles.

Mais, comment en être absolument sûr ?

 

En utilisant une sorte de table de multiplication dont le résultat est 1 si les deux points sont reliés et 0 sinon.  Ce tableau est appelé matrice, mais inutile de connaitre les propriétés des matrices pour aborder notre problème.

 

Lecture de la matrice

Sur la première ligne, le point A est relié aux points: B, C, D, E, F, H, I et J; alors que le point G ne l'est pas.

Sur la deuxième ligne, le point B est relié aux points: C, D, E, G, H, I et J; alors que le point F ne l'est pas.

Etc.

 

Commentaires

Inutile de mentionner le point A avec le point A.

De même, on ne note que les connexions avec les points suivants dans l'ordre alphabétique pour ne pas répéter les connexions déjà notées.

 

Remarques

Dans un pentagone, il y a un maximum de trois triangles sans superposition. La figure comporte alors deux diagonales.

Les diagonales du pentagone le partage en onze zones.

 

 

Pentagone quelconque, ses cinq diagonales et leurs cinq points d'intersection

 

 

Matrice de connexions

 

Exploitation de la matrice pour le point A

 

La matrice de connexion est recopiée dans un tableur par exemple. Toutes les cases vides sont mises à 0, pour permettre le calcul de la somme des 1 sur  le tableau entier (outil "somme" du tableur). Ici, la somme vaut 15.

Pour le travail sur le point A, on marque en rouge les lignes et colonnes non reliées à A; ici le point G. Les valeurs sont mises à 0.

Avant de sommer, on vérifie les cas d'alignement:

*      (A, D, F, J) entraine l'exclusion des cas ADF, ADJ et AFJ; et

*      (A, C, H, I) celle des cas (ACH, ACI et AHI).

*      Ces six cas sont notés en rose et mis à 0.

Ne reste plus qu'à exécuter la somme pour obtenir la contribution du point A.

 

Exploitation pour les autres points

 

Les 15 triangles à partir du point A

 

Le même procédé est appliqué aux autres points avec exclusion:

*      des points non connectés (rouge), et

*      des points alignés (rose).

 

Voir Triangles dans l'hexagone

 

 

Hexagone régulier – 110 triangles

 

L'hexagone régulier avec ses 9 diagonales et leurs 13 points d'intersection.

 

Cette figure contient 110 triangles. Valable pour:

*      l'hexagone régulier, et

*      l'hexagone semi-réguler.

 

Il faut ajouter un triangle de plus pour:

*      l'hexagone quelconque convexe.

 

Hexagone régulier

Hexagone semi-régulier

Hexagone convexe

Hexagone concave

 

 

Quantité de points d'intersection

La quantité de points d'intersection est facile à calculer pour un polygone convexe non-régulier (pas de diagonales concourantes):

Pour l'hexagone:

Suite sur la page externe indiquée en liens

 

 

 

 

 

Matrice de connexions

 

Les 1 indiquent les points reliés par un segment, comme AB, AC, AD, …

 

Les carrés rouges montrent que ces deux points ne sont pas reliés, comme A et H ou A et I, etc.

 

Conseil: pour suivre les explications: utiliser l'outil capture pour disposer de la figure sous les yeux.

 

Les 35 triangles formés à partir du sommet A

La toute première colonne à gauche indique le premier sommet (ici A).

 

En rouge les exclusions lorsque A n'est pas relié à ces points (H, I, J, K, l et S), en horizontal comme en vertical.

 

En ocre, les cas de points alignés. Ils sont 18.

 

En jaune les triangles à retenir. Ainsi, la première case en jaune (haut-gauche) donne le triangle ABC.

 

Total: 53 x 1 – 18 alignements = 35.

Analyse des points suivants

Les autres points de donnent pas de nouveaux triangles

Total: 35 + 25 + 19 + 15 + 11 + 5 =  110

 

 

 

Voir Triangles dans hexagone avec quelques diagonales

 

 

Bilan

Cette méthode nécessite beaucoup de soin et une vérification finale. Il est sans doute possible de la mettre sous forme de programme.

En fait, il existe une méthode de dénombrement (Voir The number of triangles), mais elle est assez complexe, notamment pour éliminer les faux triangles. 

 

 

 

Suite

*       Compter les triangles dans une figure quelconque

*       Devinette avec deux triangles

Voir

*       Carré dans le triangle, construction astucieuse

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*       Nombres triangulaires

*       PolygonesIndex 

*       TriangleIndex

DicoNombre

Nombre 8

Nombre 35

Nombre 110

Sites

*         OEIS 006600 – Total number of triangles visible in regular n-gon with all diagonals drawn.

*         The Number of Triangles Formed by Intersecting Diagonals of a Regular Polygon – Steven E. Sommars

*         The number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon – Bjorn Poonen and Michael Rubinstein

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Particul/TrgPoly.htm