NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

Débutants

Cercle

Curiosités – Paradoxes

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Cercle

 

Propriétés

Cercles tournent

Paradoxe de la corde

Engrenages

Théorème d'Al-Tusi

Cercles concentriques

 

Sommaire de cette page

>>> Énigme – La fameuse !

>>> Cercle sur plan

>>> Énigme des deux pièces

>>> Cercle sur cercle de même taille

>>> Cercle sur cercle k fois plus grand

>>> Astres: rotation et révolution

>>> Énigme des quatre cercles

>>> Bilan et anecdote

 

Source image: Inkscape

 

 

 

 

Énigme ou Paradoxe:

- de la pièce qui roule, ou

- du cercle qui tourne sur un autre

 

Attention, pas si évident … piège à l'horizon !

Extension aux mouvements des planètes et satellites: ne pas confondre: rotation et révolution.

Pensez engrenages et vous serez sur la bonne piste.

 

Anglais: Rolling coin paradox, rolling one quarter around another

 

Fameuse énigme

Énigme

Deux cercles de rayon R et 3R.

Le petit tourne sur le grand sans glissement.

Après rotation, il retrouve sa position de départ.

Combien de tours a-t-il effectué ?

 

Indice

Non ! ce n'est pas trois tours …

C'est la réponse habituelle, mais elle est erronée.

Solution

 

Devinette amusante et facile

Comment dessiner un cercle et son centre sans lever le crayon ?

Mettre un coin de la feuille pliée sur le point. Le crayon dessine le point et passe sur la feuille pliée qui sert à transporter le crayon vers le cercle.

 

 

Cercle sur un plan

 

Le cercle A roule sur la droite (ou la roue roule sur le plan) sans glisser.

Elle se retrouve dans la même position chaque fois qu'elle avance d'une longueur égale à sa circonférence:

 

 

 

Énigme des deux pièces

Énigme

La pièce jaune roule autour de la grise. Quelle est la bonne figure A ou B ?

 

Réponse

La figure B, celle du bas où la pièce se retrouve dans la même situation.

Faites l'expérience.

La suite va expliquer pourquoi.

 

 

 

Cercle sur cercle de même taille

 

Énigme

Le cercle A roule sur le cercle B sans glisser jusqu'à se retrouver dans sa position de départ.

 

Le croyez-vous ? Le cercle A effectue:

*      une rotation sur la circonférence de B, et …

*      une rotation sur lui-même.

 

Propriété

 

Pour se retrouver dans sa position de départ le cercle A effectue deux rotations.

 

Explications

Suivez la pièce de 10 francs en rotation sur une autre de 10 francs.

Lorsqu'elle arrive en bas, elle a déjà effectué une rotation. Un autre est nécessaire pour rejoindre le haut.

 

Image des engrenages

Remplaçons les deux pièces par deux engrenages de même taille et de même quantité de dents montés sur des axes fixes.

La rotation de l'un entraine la rotation de l'autre. L'un ayant fait un tour, l'autre aussi. Soit un bilan de deux tours. Si on maintient l'un fixe, c'est l'autre qui fait deux tours.

 

 

Combien de tours pour A ?

 

Pièce de 10 francs en rotation

 

Comparaison

 

Le trait bleu indique le parcours pour un seul tour dans les deux cas.

 

En haut

Il y a rotation de la pièce sur le plan.

 

En bas

Il y a rotation de la pièce autour de la pièce grise (même chose que précédemment avec  la circonférence coupée et déployée en ligne droite)

ET révolution de la pièce jaune autour  de la pièce grise, ou tout simplement autour du point central de cette pièce grise.

 

 

Définitions

 

Rotation: la roue tourne autour de son propre axe.

Révolution: l'objet exécute une trajectoire circulaire ou elliptique autour d'un autre objet.

 

Voir DicoMot Math

 

 

Rotation de la Terre

 

23,934 heures

Révolution de la Terre

autour du Soleil

365,256 jours

 

 

 

Cercle sur cercle k fois plus grand

 

k = 2

Deux cercles de rayon R et 2R. Le cercle A roule sans glisser sur le cercle B.

 Il effectue:

*    Deux rotations pour couvrir la circonférence du grand cercle B, et

*    Une révolution autour du centre du cercle B.

Le Cercle A effectue trois tours pour retrouver sa position de départ.

 

k général

Avec deux cercles de rayon R et k.R, le cercle A effectue (k + 1) tours.

Toujours "+ 1" tour, quelle que soit la taille du grand cercle.

 

Cercle qui tourne à l'intérieur

La révolution s'effectue dans l'autre sens et la quantité de tours est cette fois égale à (k – 1).

 

 

R et  2R 3 tours

R et k.R (k + 1) tours

 

Avec deux engrenages: le grand ferait un tour pour k tour du plus petit. Un total de  k + 1  tours.

 

 

Astres

Lune

La Lune effectue sa révolution en 27,3217 jours.

Elle présente toujours la même face à la Terre.

 

Donc la Lune effectue une révolution et se retrouve dans sa position initiale à la fin de ce cycle.

Contrairement au cas des pièces de monnaie, elle ne présente pas un aspect différent au fur et à mesure de sa progression.

La lune se propage naturellement le long de son orbite et semble en rotation. Nous observons là, l'effet "tout nu" de la révolution.

 

Deux tours: une révolution + une rotation

 

Un seul tour: une révolution

Le Soleil

La Terre effectue sa révolution autour du Soleil en 365 jours (et un peu plus).

La Terre tourne sur elle-même chaque jour, soit 365 fois par an.

 

Bilan: 365 rotations + 1 révolution = 366 tours en un an. Le petit plus que la Terre effectue chaque jour sur son orbite finit, au bout de l'année, à réaliser un tour.

On note que cette propriété est valable, même si l'orbite de l'astre n'est pas circulaire, mais elliptique.

 

Énigme des quatre cercles

Un cercle A roule sur un chemin formé par quatre cercles tangents en ligne.

Combine de tours exécute A pour revenir dans sa position initiale ?

Chemin de rotation du cercle A

Le dessin montre que les centres de trois cercles forment un triangle équilatéral (côté = 2R).

L'arc rouge est intercepté par un angle de 60°. Soit 1/6 de la circonférence.

L'arc en violet mesure 4/6 de la circonférence.

Le chemin complet: 2 x 4/6 + 4 x 1/6 = 12/6 = 2 tours

Quantité de tours

L'image des engrenages est appropriée.

Une progression d'un quart de tour sur le cercle fixe (arc  violet) produit le double sur le cercle mobile.

 

Le chemin sur le dispositif B est multiplié par 2 en termes de tours effectués par le cercle mobile. Soit 4 tours.

 

 

Bilan

 

Autour d'un cercle

Un corps qui tourne k fois sur lui-même pendant qu'il effectue une révolution complète, retrouvant son point de départ, apparaitra comme ayant effectué:

*    (k + 1) tours pour un observateur extérieur; et

*    (k – 1) tours pour un observateur situé à l'intérieur de l'orbite.

Souvenez-vous: la Lune nous semble ne pas tourner, mais un observateur dans l'espace observera qu'elle a effectué un tour en un mois (en gros).

 

Autour de plusieurs pièces

Dans le cas d'un chemin complexe, la quantité de tours est égale au double du chemin parcouru sur le dispositif.

 

Anecdote: la fameuse énigme a été posée en 1982 à un test d'admission au collège américain (SAT Examination). Pratiquement personne n'a été capable de donner la réponse exacte. Il faut dire qu'il s'agissait d'un QCM et que la bonne réponse n'était pas proposée (Voir Illustration). Plus tard, plusieurs journaux ont proposé cette énigme à leurs lecteurs en répétant la même erreur.

 

Spirographe: le cercle qui tourne autour d'un autre fait penser aux épicycloïdes et aux jolis dessins réalisés avec un spirographe TM.

 

 

 

 

Devinette – Solution

 

Raisonnement incomplet

En effectuant un tour, le petit cercle progresse d'une longueur égale à sa circonférence (2R). Or, la grande circonférence est trois fois plus longue (23R).

Conclusion (provisoire): le cercle A effectue trois tours.

 

Complément, s'il vous plait

Oui, mais! Le petit cercle tourne au fur et à mesure de sa révolution autour du centre du grand cercle. Il finit par faire un tour complet. La bonne réponse est donc:

 

Le cercle A effectue quatre tours sur le cercle B pour retrouver sa position de départ.  

 

Retour

 

 

 

 

Suite

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Livre

*   Aha! Gotcha: Paradoxes to Puzzle and Delight by Martin Gardner

Sites

*   Guide du logiciel de dessin vectoriel – Inkscape – Rubrique spirographe

*   Everyone Got This SAT Math Question Wrong – YouTube

*   Coin rotation paradox – Wikipedia

*   Circles rolling on circles – Yutaka Nishiyama

*   Two coins puzzle – Cut The Knot

*   Solutions to last issue's Mathsnacks Coin PuzzlesBurkard Plolster, Marty Ross et QED (the cat)

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/CerTourn.htm