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Constante

 

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PI

 

 

INDEX

 

Constante PI

 

Débutants

 

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Introduction

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Valeur

Décimales

 

Sommaire de cette page

>>> Approche de la constante Pi – En vélo

>>> Périmètre du cercle

>>> Aire du disque

>>> Valeurs approchées de Pi

>>> Une formule de calcul de Pi

>>> Bilan

 

 

 

 

Constante Pi ()

Page dédiée aux débutants juniors

Je ne suis pas débutant >>>

 

attention.png  La constante Pi est un nombre dont l'écriture est sans fin. On se contente souvent d'une approximation avec ses trois premiers chiffres significatifs (3,14). Il faudrait l'écrire plus rigoureusement: 3,14 … Les trois points indiquant qu'il y a bien d'autres chiffres derrière.

 

Constante Pi: nombre spécial compris entre 3 et 4. Impossible de le représenter par une fraction.  Son écriture avec des décimales ne s'arrête jamais.

Mais à quoi correspond un tel nombre? Pourquoi en avons-nous besoin?

Cette page n'est pas un cours (comme d'ailleurs toutes les pages de ce site) ! Son contenu reflète les trucs utilisés par l'auteur pour encrer durablement les notions de périmètre du cercle et d'aire du disque à des enfants en accompagnement particulier. Les encarts ludiques favorisent l'attention et la mémorisation.

Voir Pages dédiées aux Juniors rédigées par des Juniors

 

 

Une touche d'humour …

Pirouettes et autres pitreries

Bébé, je fais pipi n'importe où; je pisse en lit …

À la ferme, j'ai vu beaucoup de pis; et les vaches m'épient!

La paille a des épis; et pis après?

Les pies sont voleuses! Qui copient-elles?

Pi rate, pi se tache et pire encore.

Auteur inconnu  - Voir Pensées & humour


Pis vert en verre

Lettre grecque Pi coloriée en vert   

Oiseau commun: le pic vert

Voir Rébus

 

Pie XII (Pie douze)

Pape de 1939 à 1958, notamment au moment de la seconde guerre mondiale. Position difficile face aux nazis d'Hitler et aux fascistes de Mussolini.

Les enfants s'amusent plutôt avec Pie VII (1742-1823).

  Voir Histoire

 

 

Une approche de la constante Pi – En vélo

 

La roue de mon vélo progresse sur la route. Je regarde quelle est la distance parcourue après un demi-tour ou un tour complet.

Au départ, la valve (point de gonflage – montrée en rouge) est en bas.

Après un demi-tour, elle est en haut.

Je reporte au sol la longueur du rayon. Il en faut trois et un peu plus pour arriver au pied de la roue qui a fait un demi-tour.

Une mesure plus précise montre que c'est trois fois le rayon plus environ 0,14 fois la longueur du rayon.

 

Si le rayon mesure un mètre, la roue se trouve à:

*    environ 3,14 mètres plus loin après un demi-tour, et

*    environ 6,28 m plus loin pour un tour complet. 

 

Avec le diamètre

 

Le nombre Pi correspond à la longueur du cercle lorsque que le diamètre vaut une unité.

 

Le rapport (la fraction) circonférence sur diamètre vaut Pi pour tous les cercles.

Il est noté avec la lettre grecque   qui correspond à notre P en référence au P de Périmètre du cercle, lequel est égal à 2 fois Pi.

 

Avec le rayon

 

Le nombre Pi correspond à la longueur d'un demi-cercle lorsque que le rayon vaut une unité.

 

 

Amusement

J'en connais un rayon,

je sais qu'en vélo en un tour de roue je fais pipi.

Avec cette image, je retiens que:

Cette relation sera très utile en trigonométrie.

 

 

Périmètre du cercle

 

Le grand carré en rose a un côté qui mesure D mètres. Son périmètre est égal à 4D.

 

Le périmètre du cercle (on dit aussi circonférence) est plus petit que le périmètre du grand carré. C'est là qu'intervient Pi.

Le périmètre du cercle est plus petit que 4D, il mesure 3,14… D

 

La circonférence divisée par le diamètre

donne la valeur de Pi.

 

En prenant le rayon, le périmètre du cercle est égal à:

P = 3,14… x (2R) = 2 x 3,14… x R

P = 2R     (deux pierres!...)

 

 

Périmètre du carré   = 2 x 4          x R

Périmètre du cercle = 2 x 3,14 … x R

 

 

Aire du disque

L'aire du grand carré est égale à D² ou 4 fois les petits carrés violets, soit 4R²

 

L'aire du disque est plus petite.

 

Elle vaut

A = 3,14… R² =

 

Avec le diamètre:

A = 3,14… (D/2)² = 3,14…  x D² / 4

 

Aire du carré    = 4          x R²

Aire du disque = 3,14… x R²

 

 

 

Bilan (les formules avec le rayon sont à retenir par cœur)

 

 

Citations

Les travaux théoriques ou pratiques portant sur ce nombre sont un voyage vers l’infini plein de surprises et d’émerveillement.  

A partir d’Archimède, Pi existe comme un objet mathématique parfait et inaccessible et, de ce fait, comme défi permanent à l’intelligence des hommes.

Jean-Paul Delahaye.

 

 

Valeurs approchées de Pi

La valeur courante pour les applications simples est la suivante:

Avec un peu plus de décimales:

Avec vingt décimales

Pi est une valeur un peu plus grande que 3. De combien approximativement?

 

 

Encore mieux (six décimales exactes)
(Fraction contenant deux fois les nombres impairs1, 3 et 5).

 

 

Les vingt premières décimales de Pi arrangées le long d'un cercle de diamètre unité

Représentation artistique représentant  PI comme la circonférence d'un cercle de diamètre unité

 

 

Une formule de calcul de Pi

 

Une des formules qui permet de calculer Pi. Formule de l'Indien Nilakantha (1444–1544).

Plus on calcule de fractions et plus on se rapproche de la valeur de Pi.

 

 

 

Essayons de calculer les premiers termes. Ce ne sont que des fractions après tout.

 

 

Les trois petits points indiquent qu'il existe d'autres décimales. Ici, ce sont des 6 sans arrêt (une infinité).

Le tableau montre les calculs pour les fractions suivantes. En rouge, les décimales exactes du nombre Pi.  


 

Ce tableau montre que cette formule conduit progressivement vers la valeur de Pi, mais très, très lentement. Avec 10 000 fractions (calculées avec un ordinateur), le résultat approche Pi avec seulement 11 décimales.

 

 

 

 

Bilan

 

Pi (  lettre grecque pour P) est un nombre extraordinaire, égal à environ 3,14 et dépassant 3 d'environ 1/7. Il existe de nombreuses méthodes pour en calculer une valeur de plus en plus précise.

La calculette de votre ordinateur en mode scientifique donne 31 décimales.

 

Ce nombre est essentiellement la mesure de la circonférence d'un cercle de diamètre égal à 1. Ou plus généralement pour tous les cercles, Pi est le rapport de leur circonférence à leur diamètre:

 

 

La constante Pi se retrouve dans pratiquement tous les domaines mathématiques traitant de ce qui est courbe ou ondulant. On la découvre également en probabilité. Cette constante est universelle, d'où l'importance que tous les mathématiciens lui accorde. Certains, par pur passion, cherche à en connaître le maximum de décimales (des milliers de milliards!).

 

 

 

 

 

Suite

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