NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Volume du boudin

>>> Piscines

>>> Le cylindre dans le cône

>>> La bouteille

 

 

 

 

CYLINDRE

 

Problèmes typiques posés au brevet.

 

Note: la valeur numérique de Pi est notée 3,14 alors que les calculs sont effectués avec toute la précision de la calculette.

 

 

Volume du boudin

 

Problème

 

Calculez le volume du boudin formé d'un cylindre et terminé par deux demi-boules.

 

 

Indice

 

Les deux demi-sphères sont équivalentes à la sphère complète.

Le volume du boudin est donc égal à la somme des volumes du cylindre et celui de la sphère.

Remarquez que l'on nous donne la longueur du diamètre et non celle du rayon.

 

 

Solution

 

Le volume du boudin arrondi au centième est égal à: 12 197, 76 cm3.

 

Brevet Amérique du Nord 2014

 

 

 

Piscines

 

Problème

Deux piscines: l'une de base circulaire et l'autre de base octogonale.

 

1.   Si la construction ne dépasse pas une occupation du sol de 10 m², aucune formalité administrative (permis de construire) n'est demandée. Est-ce le cas pour ces deux piscines?

 

 

2.    Si la surface minimale recommandée par baigneur est de 3,4 m², quelle est la piscine convenable pour une famille de quatre personnes?

3.    Le débit de remplissage est de 12 litres par minutes. Avec une ouverture du robinet du vendredi 14h 00 au samedi matin 10h 00, est-ce que les piscines vont déborder?

 

Solution 1

 

Pour connaître la surface d'occupation du sol, il faut calculer l'aire de la base de chaque piscine: l'aire du disque et l'aire de l'octogone.

La piscine circulaire peut être construite sans formalité (< 10 m²); ce n'est pas le cas de la piscine octogonale.

 

Solution 2

Avec quatre personnes, la famille requière 4 x 3,4 = 13,6 m²

Ça passe juste avec la piscine octogonale, mais certainement pas avec la circulaire.

 

Solution 3

Cette question nécessite le calcul du volume des piscines:

Note: Voc = 16,42750474 arrondi à 16,428 (de justesse!)

 

Durée d'ouverture du robinet: de 14 h à minuit = 10 h et de minuit à 10 h, encore 10h; soit 20 heures au total.

Volume d'eau débitée: 20 h x 60 min/h x 12 l/min = 14 400 litres = 14, 4 m3

La piscine circulaire déborde, mais l'octogonale n'est pas encore pleine.

Sa hauteur de remplissage est égale à hr = Volume / Base = 14,4 / 13,689 = 1,052 m

 

Brevet Polynésie 2014

 

 

 

 

 

Le cylindre dans le cône

Problème

*      Un cône d rayon R et hauteur H.

*      Un cylindre de rayon r et de hauteur h inconnue. Il est inscrit dans le cône; dit autrement, il occupe le maximum de place.

*      Quelle est le volume du cylindre?

 

 

 

Solution

 

Les triangles ABC et ADE ont un angle commun A; des côtés parallèles BC et DE; ils sont semblables. Le théorème de Thalès  permet de calculer h en fonction de R, r et H.

 

 

 

La bouteille

Problème

 

Une bouteille formée d'un grand cylindre, d'un tronc de cône et surmonté d'un petit cylindre.

Quel est le volume de la bouteille?

 

 

Indice

Le volume du tronc de cône est égal au volume du grand cône diminué de celui du petit cône.

 

Le rayon du petit cône (r)  par rapport au rayon du grand cône (R) est dans la même proportion que les hauteurs (r / R). Voir figure de droite.

 

Solution

 

Brevet Pondichéry 2014

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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