NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 08/01/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Triangles

 

Débutants

Triangle

TRIANGLES

RATIONNELS

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

Triangle

 

Ésotérisme

 

Isiaques

Héroniens

Congruents

 

Sommaire de cette page

 

>>> Triangles Héroniens

>>> Paramètres génériques

>>> Héronien et trigonométrie

 

 

 

 

TRIANGLES HÉRONIENS

 

 

Triangles quelconques dont les mesures sont des nombres entiers ou rationnels; côtés et aire.

 

Il y a 2000 ans, Héron d'Alexandrie donne un exemple: a = 13, b = 14 et c = 15 avec une aire de 84. Au XVIIe siècle, plusieurs mathématiciens reprendront les travaux: François Viète, C.G. Bachet and Frans van Schooten jr. Au XIXe, ils font l'objet de jeux. En 1934, Dickson fiat le point sur ces triangles.

 

 

 

TRIANGLES HÉRONIENS

 

*       Triangle dont l'aire est un nombre entier (en fait, un nombre rationnel).  Le triangle de Pythagore en est un, car son aire est égale à: (3 x 4 / 2 = 6) et il est rectangle.

 

*       Il en existe d'autres, très voisins, par forcément rectangles. En voici quelques exemples ci-contre.

 

Comment construire de tels triangles héroniens?

*       À partir de la formule de Héron qui donne l'aire du triangle quelconque: a, b et c sont les longueurs des trois côté.

P = 2 s = a + b + c, le périmètre. Le carré de l'aire du triangle est égale à:

 

A² = { s(s – a) (s – b) (s – c) }

 

Exemple avec le triangle isocèle 5 – 5 – 6

 

P = 5 + 5 + 6 = 16

s = 8

A² = 8 x 3 x 3 x 2 = 16 x 9

A = 4 x 3 = 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Paramètres génériques

 

Cas générique

 

 

Voici quelques exemples numériques

 

 

Les premiers triplets dans l'ordre de la longueur maximale

 

(3, 4, 5),   (5, 5, 6),   (5, 5, 8),   (6, 8, 10),   (10, 10, 12),

(5, 12, 13),   (10, 13, 13),   (9, 12, 15),   (4, 13, 15),

(13, 14, 15), (10, 10, 16), ...

 

 

Valeurs pour a, b et c <101                       Voir table

 

 

 

 

Héroniens et trigonométrie

 

*       Un triangle est héronien, ses trois côtés (a, b et c) étant des nombres entiers, son aire est aussi un nombre entier n, si et seulement s'il existe un nombre réel  compris entre 0 et  tel que:

 

 

Ce qui implique que le point (sin, cos) est un point rationnel, hors les points (1,0) et (-1,0), situé dans le quadrant positif du cercle unitaire.

 

Voir Trigonométrie / Cercle unité  et Suite en Nombre t-congruent

 

 

 

 

Suite

*    Tables des triangles héroniens

*    Triangles héroniens rectangles

Héron

*    Héron d'Alexandrie

*    Algorithme d'Héron

Voir

*    Cercles et triangle (3, 4, 5)

*    Ésotérisme

*    Nombre de la bête

*    Nombres congruents

*    Pépites

*    Résolution des triangles

*    Triangles

*    Triplets de Pythagore

DicoNombre

*    Nombre 3

*    Nombre 4

*    Nombre 5

*    Nombre 13

*    Nombre 3 600

Cette page

*    http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Esoteris/Heronien.htm