Triangle héronien

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TRIANGLES HÉRONIENS

Triangles quelconques dont les mesures sont des nombres entiers ou rationnels; côtés et aire.

Il y a 2000 ans, Héron d'Alexandrie donne un exemple: a = 13, b = 14 et c = 15 avec une aire de 84. Au XVII^e siècle, plusieurs mathématiciens reprendront les travaux: François Viète, C.G. Bachet and Frans van Schooten jr. Au XIX^e, ils font l'objet de jeux. En 1934, Dickson fiat le point sur ces triangles.

TRIANGLES HÉRONIENS

Triangle dont l'aire est un nombre entier (en fait, un nombre rationnel). Le triangle de Pythagore en est un, car son aire est égale à: (3 x 4 / 2 = 6) et il est rectangle.

Il en existe d'autres, très voisins, par forcément rectangles. En voici quelques exemples ci-contre.

Comment construire de tels triangles héroniens?

À partir de la formule de Héron qui donne l'aire du triangle quelconque: a, b et c sont les longueurs des trois côté.

P = 2 s = a + b + c, le périmètre. Le carré de l'aire du triangle est égale à:

A² = { s(s – a) (s – b) (s – c) }

Exemple avec le triangle isocèle 5 – 5 – 6

P = 5 + 5 + 6 = 16

s = 8

A² = 8 x 3 x 3 x 2 = 16 x 9

A = 4 x 3 = 12

Paramètres génériques

Cas générique

Voici quelques exemples numériques

Les premiers triplets dans l'ordre de la longueur maximale

(3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12),

(5, 12, 13), (10, 13, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15),

(13, 14, 15), (10, 10, 16), ...

Valeurs pour a, b et c <101 Voir table

Héroniens et trigonométrie

Un triangle est héronien, ses trois côtés (a, b et c) étant des nombres entiers, son aire est aussi un nombre entier n, si et seulement s'il existe un nombre réel compris entre 0 et tel que:

Ce qui implique que le point (sin, cos) est un point rationnel, hors les points (1,0) et (-1,0), situé dans le quadrant positif du cercle unitaire.

Voir Trigonométrie / Cercle unité et Suite en Nombre t-congruent

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