Trigonométrie rationnelle

Édition du: 12/11/2021

INDEX Triangles Trigonométrie Géométrie	Théorème de Pythagore – Extensions
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	Approche	Pythagore en linéaire (triple quad)	Pythagore pour toute figure
		Trigonométrie rationnelle

Trigonométrie rationnelle

Trigonométrie de Wildberger

Une forme particulière de la trigonométrie, de la science des mesures notamment dans le triangle. Elle a la particularité de ne pas utiliser de nombres irrationnels: ni nombre Pi, ni racines carrées. Toutes les grandeurs sont exprimées par des fractions. Son auteur, N.J. Wildberger; affirme que cette trigonométrie est plus pratique et permet de résoudre plus simplement certains problèmes de géométrie.

Sommaire de cette page

>>> Trigonométrie rationnelle – Notions

>>> Calcul de l'ouverture

>>> Triangle rationnel complet

>>> Bases de la trigonométrie rationnelle

>>> Les cinq lois fondamentales

Débutants

Géométrie

Glossaire

Géométrie

Anglais: Triple quad formula

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Trigonométrie rationnelle – Notions		haut
Traditionnelle Les côtés du triangle sont définis par leur longueur. Les angles par leur valeur en radians ou en degrés; généralement des nombres avec décimales, ici tronquées à deux.	Rationnelle Les côtés du triangle sont définis par le carré de leur longueur: la quadrance. Les angles par une fraction qui équivaut au carré du sinus de l'angle: l'ouverture (spread en anglais)

Voir Brève 789

Calcul de l'ouverture		haut
Exemple pour l'angle en A On trace la hauteur en B dont la longueur est b. Le pied définit le segment de longueur a et celui de longueur (7 – a), pour notre exemple. Théorème de Pythagore: a² + b² = 5² (7 – a)² + b² = 4² Différence: a² + b² – 49 + 14a – a² – b² = 5² – 4² 14a – 49 = 9 On connait a puis b: Calcul de l'ouverture (carré du sinus):	Triangle avec ouverture en A s_A est l'ouverture (spread) de l'angle en A. C'est la valeur du sinus de l'angle au carré. Toujours une valeur rationnelle.
Pour l'angle en B a² + b² = 4² a² + (5 + b)² = 7² 25 – 10 b = 33
Pour l'angle en C a² + b² = 5² a² + (b + 4)² = 7² 16 + 8 b = 24

Voir Calcul d'une hauteur rationnelle

Triangle rationnel complet		haut
Triangle (4, 5, 7) On récapitule les mesures du triangle rationnel. Toutes les grandeurs sont rationnelles (des fractions) et non des nombres avec radicaux. Attention, toutes ces valeurs sont des carrés. Par exemple le côté marqué 49, mesure en fait 7. Les angles sont exprimés par le sin² des angles.
Bilan Outre son emploi en trigonométrie rationnelle, voyez comme cette méthode permet de trouver les fractions exactes qui représentent les angles et les longueurs des côtés et des hauteurs.

Bases de la trigonométrie rationnelle

haut

Quadrance

Soit deux points de coordonnées:
A (x₁, y₁) et B (x₂, y₂).

Q(A₁, A₂) = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²

Quadrance

Une droite L d'équation ax + by + c = 0 est notée (a, b, c)

Avec deux droites L1 et L2, l'ouverture est définie par cette relation:

Pour trois points (un triangle)

Q₁ = Q(A₂, A₃)

Q₂ = Q(A₁, A₃)

Q₃ = Q(A₁, A₁)

s₁ = s(A₁A₂, A₁A₃)

s₂ = s(A₂A₂, A₂A₃)

s₃ = s(A₃A₁, A₃A₂)

Les cinq lois fondamentales		haut
Théorème de Pythagore Voir Formule du triple quad	Les droites A₁A₃ et A₂A₃ sont perpendiculaires si et seulement si:
Formule du triple quad Voir Formule du triple quad
Loi des ouvertures	Triangle dont aucune quadrance n'est nulle
Loi des croisements
Formule de la triple ouverture

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Retour	Théorème de Pythagore en linéaire – Triple quad Théorème de Pythagore sur d'autres figures que le triangle Généralisation du théorème de Pythagore – Al Kashi
Suite	Théorème de Pythagore – Index, toutes les démos Démonstrations historiques du théorème de Pythagore
Voir	Théorème de Pappus Cercle – Formules Trigonométrie – Index
Sites	La trigonométrie de Wildberger – Wikipédia One Dimensional Metrical Geometry – N.J. Wildberger – 2018 Divine proportions – Rational trigonomety to universal geometry – N.J. Wildberger – 2005 – pdf 321 pages Voir liste des liens pour le théorème de Pythagore
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Pythagore/TrigoRat.htm