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Édition du: 12/11/2021

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Théorème de Pythagore – Extensions

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Pythagore en linéaire (triple quad)

Pythagore pour toute figure

Trigonométrie rationnelle

 

 

Trigonométrie rationnelle

Trigonométrie de Wildberger

 

Une forme particulière de la trigonométrie, de la science des mesures notamment dans le triangle. Elle a la particularité de ne pas utiliser de nombres irrationnels: ni nombre Pi, ni racines carrées. Toutes les grandeurs sont exprimées par des fractions. Son auteur, N.J. Wildberger; affirme que cette trigonométrie est plus pratique et permet de résoudre plus simplement certains problèmes de géométrie.

  

 

Sommaire de cette page

>>> Trigonométrie rationnelle – Notions

>>> Calcul de l'ouverture

>>> Triangle rationnel complet

>>> Bases de la trigonométrie rationnelle

>>> Les cinq lois fondamentales

  

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

Anglais: Triple quad formula

Le niveau du lycée suffit pour aborder cette page.

 

 

Trigonométrie rationnelle – Notions

haut

 

Traditionnelle

Les côtés du triangle sont définis par leur longueur.

Les angles par leur valeur en radians ou en degrés; généralement des nombres avec décimales, ici tronquées à deux.

 

 

Rationnelle

Les côtés du triangle sont définis par le carré de leur longueur: la quadrance.

Les angles par une fraction qui équivaut au carré du sinus de l'angle: l'ouverture (spread en anglais)

 

Voir Brève 789

 

 

Calcul de l'ouverture

haut

 

Exemple pour l'angle en A

On trace la hauteur en B dont la longueur est b. Le pied définit le segment de longueur a et celui de longueur (7 – a), pour notre exemple.

 

Théorème de Pythagore:
a² + b² = 5²
(7 – a)² + b²  = 4²

Différence:
a² + b² – 49 + 14a – a² – b² = 5² – 4²
14a – 49 = 9

On connait a puis b:

Calcul de l'ouverture (carré du sinus):

  

Triangle avec ouverture en A

 

sA est l'ouverture (spread) de l'angle en A.

C'est la valeur du sinus de l'angle au carré.

Toujours une valeur rationnelle.

 

Pour l'angle en B


a² + b² = 4²
a² + (5 + b)² = 7²
25 – 10 b = 33


 

Pour l'angle en C


a² + b² = 5²
a² + (b + 4)² = 7²
16 + 8 b = 24

Voir Calcul d'une hauteur rationnelle

 

 

Triangle rationnel complet

haut

 

 

Triangle (4, 5, 7)

 

On récapitule les mesures du triangle rationnel.

 

Toutes les grandeurs sont rationnelles (des fractions) et non des nombres avec radicaux.

 

Attention, toutes ces valeurs sont des carrés.

Par exemple le côté marqué 49, mesure en fait 7.

Les angles sont exprimés par le sin² des angles.

 

 

 

 

 

Bilan

Outre son emploi en trigonométrie rationnelle, voyez comme cette méthode permet de trouver les fractions exactes qui représentent les angles et les longueurs des côtés et des hauteurs.

 

 

 

Bases de la trigonométrie rationnelle

haut

 

Quadrance

Soit deux points de coordonnées:
A (x1, y1) et B (x2, y2).

 

Q(A1, A2) = (x2 – x1)² + (y2 – y1

 

Quadrance

Une droite L d'équation ax + by + c = 0 est notée (a, b, c)

Avec deux droites L1 et L2, l'ouverture est définie par cette relation:

 

 

Pour trois points (un triangle)

 

Q1 = Q(A2, A3)

Q2 = Q(A1, A3)

Q3 = Q(A1, A1)

s1 = s(A1A2, A1A3)

s2 = s(A2A2, A2A3)

s3 = s(A3A1, A3A2)

 

 

 

 

 

Les cinq lois fondamentales

haut

 

Théorème de Pythagore

 

Voir Formule du triple quad

 

Les droites A1A3 et  A2A3 sont perpendiculaires
si et seulement si:

 

Formule du triple quad

 

Voir Formule du triple quad

 

 

Loi des ouvertures

Triangle dont aucune quadrance n'est nulle

 

Loi des croisements

 

Formule de la triple ouverture

 

 

Haut de page

 

 

 

Retour

*      Théorème de Pythagore en linéaire – Triple quad

*      Théorème de Pythagore sur d'autres figures que le triangle

*      Généralisation du théorème de Pythagore – Al Kashi

Suite

*      Théorème de PythagoreIndex, toutes les démos

*      Démonstrations historiques du théorème de Pythagore

Voir

*      Théorème de Pappus

*      Cercle – Formules

*      TrigonométrieIndex

Sites

*      La trigonométrie de Wildberger – Wikipédia

*      One Dimensional Metrical Geometry – N.J. Wildberger – 2018

*      Divine proportions – Rational trigonomety to universal geometry – N.J. Wildberger – 2005 – pdf 321 pages

 

Voir liste des liens pour le théorème de Pythagore

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Pythagore/TrigoRat.htm