NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Géométrie

NOMBRE D'OR

 

Glossaire

NOMBRE

D'OR

Tour d'horizon

Valeurs

Phi et Fibonacci

Proportion

Introduction

Formules

Puissances

Construction

Historique

Fraction continue

Trigonométrie

Géométrie

 

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Valeur et formules

>>> Fractions continues 

>>> Fractions d'or & fractions continues

>>> Chaîne dorée

>>> Phi et trigonométrie

 

 

 

 

 

 

 

Nombre d'or – FORMULES

 

 

 

Équations

x² – x – 1 = 0

 

x2 – x1 – x0  = 0

*    Le nombre d'or est racine réelle de cette équation.

*    C'est donc un nombre

*    réel algébrique,

*    mais non transcendant.

1 / Φ  = Φ  - 1

Φ   = 1 + 1 / Φ

Φ 2 = Φ  + 1

Φ 3 = 2 Φ  + 1 = ( Φ  + 1) / ( Φ  - 1)

*      Relations entre phi et ses puissances.

*    Seul nombre qui, lorsqu'on lui soustrait l'unité, devient son propre inverse.

x4 – 2x3 + x2 – 1

= (x² – x – 1)(x² - x + 1) = 0

*    Le nombre d'or et son inverse sont solutions de cette équation.

Voir Équation trigonométrique en or

 

Limite

 

 

*      Limite du rapport entre nombres consécutifs de Fibonacci ou de Lucas.

 

 

Fraction continue

 

 

Φ = [1 ; 1, 1, 1, 1, 1...]

 

*    Fraction continue la plus simple, car elle ne comporte que des "1".

 

1/ Φ = [0 ; 1, 1, 1, 1, 1...]

 

*    Déduction facile de la précédente: Phi et son inverse sont séparés d'une unité.

*    Racine continue la plus simple (que des "1").

Voir Table des fractions continues de Phi / Racines continues de Phi / Fractions - Glossaire 

 

 

 

FRACTIONS D'OR & FRACTIONS CONTINUES

 

Fractions d'approximation du nombre d'or appelées réduites du nombre d'or

= quotient de deux Fibonacci consécutifs

& présentation de la fraction continue correspondante. 

 

1 1

2 2

3/2 1+1/`2`

5/3 1+1/(1+1/`2`)

8/5 1+1/(1+1/(1+1/`2`))

13/8 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))

21/13 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))

34/21 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))))

55/34 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))))

89/55 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))))))

144/89 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))))))

233/144 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))))))))

377/233 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))))))))

610/377 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))))))))))

987/610 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))))))))))

1597/987 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))))))))))))

2584/1597 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))))))))))))

4181/2584 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`)))))))))))))))

6765/4181 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/`2`))))))))))))))))

 

Voir Approximation de Phi

 

 

 

 

 

CHAÎNE DORÉE

 

Chaîne dorée

 

*    Chaîne infinie non répétitive de 1 et 0.
Sorte de fractale, car comporte une autosimilarité.

 

Construction


Départ: S0 = 0; S1 = 1

Itération: Sn = concaténation de Sn-1 et de Sn-2

 

Valeurs de la chaîne dorée

0

1

10

101

10110

10110101

1011010110110

101101011011010110101

...

 

Propriétés

*    Le ratio entre la quantité de 1 et celle de 0 est le nombre d'or.

 

 

 

Trigonométrie

Voir Page spéciale

Voir Pentagone

 

  

 

Suite

*    Valeurs du nombre d'or

*    Divine proportion

Aussi

*    Cercle

*    Constante Pi

*    Constantes Mathématiques

*    Nombre d'or des exponentielles

*    Série du type Fibonacci et cousins

DicoNombre

*    Nombre 1,618…

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