NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Introduction

Valeur

Fractions

Analogies

Propriétés

Formules

Dénombrements

Base

Dévelop ex

 

Sommaire de cette page

>>> Réduites

>>> Fractions "factorielles"

>>> Fractions progressives

>>> Fractions efficaces

 

 

 

 

 

FRACTIONS EXPRIMANT "e"

 

 Voir Palindrome / Mnémotechnique

 

 

 

Fraction continue et réduites de "e"

 

Fraction continue

 

*    Forme abrégée de la fraction continue:

 

e = [2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8...]

 

*    Forme développée


 

Réduites

 

*    Les réduites sont les fractions obtenues en calculant la fraction à chaque ajout d'un étage supplémentaire.

 

 

Exemple: 30 / 11 = 2,727 au lieu de 2,718; écart 0,009.

 

 

 

 

FRACTIONS à partir des factorielles

 

Expression en factorielle

 

*    Calcul en utilisant la formule en exponentielles

 

e = 1 + 1/1! +1/2! + 1/3! + 1/4! + …

 

*    et réduction au même dénominateur à chaque ajout d'un terme.

 

Tableau de valeurs

 



Voir  Approche de "e" est irrationnel

 

 

FRACTIONS progressives

 

*    Recherche d'un algorithme de calcul de fractions performantes, se rapprochant au maximum de la valeur de "e".

 

Principe de l'algorithme

 

*    Recherche des fractions à dénominateur croissant pour lesquelles l'écart avec "e" diminue.

*    Le dénominateur D étant donné, on calcule la valeur entière de X = D . e. On essaie les deux fractions suivantes qui encadrent "e"

 

X / D et (X + 1) / D

 

Programmation de l'algorithme

 

ECARTENREGISTRE:=10

 

pour D de 1 à 10 000 faire

 

calculer X = tronque (D . e)

pour N de X à X + 1 faire

 

FRACTION:= N / D

ECART:=  absolu( exp(1) – FRACTION )

 

si ECART < ECARTENREGISTRE alors

imprimer (N, D)

ECARTENREGISTRE:= ECART

 

fin du si

fin du pour

fin du pour

Voir Programmation

 

 

Tableau de valeurs


 

 

 

FRACTIONS EFFICACES

 

Principe de comparaison

 

*    On compare les trois types de fractions obtenues.

*    On les classe par écarts décroissants par rapport à la valeur de "e".

*    L'efficacité est le gain sur la valeur précédente en pourcentage.

 

Efficacité = 100 x (écart -écart précédent) / écart précédent

 

*    La fraction 878 / 323  est souvent choisie.
Étant palindromes, ces deux nombres sont faciles à retenir


 Tableau de comparaison

 

 

 

 

 

Suite

*    Formules

*    Valeurs de "e"

*    Fractions continues

*    Suites de Farey

*    Réduites des constantes usuelles

Voir

*    Constantes

*    Exposants et puissances

*    Exposants et puissances  Index

*    FractionGlossaire

*    Fraction particulière

*    Fractions continues

*    Logarithmes

*    Nombre d'or

*    Nombres rationnels

*    Pi

*    Théorie des nombres

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