Accueil

Orientation générale

Barre de recherche

DicoNombre

DicoMot Math

DicoCulture

Atlas des maths

Rubriques

Index alphabétique

Nouveautés

Actualités

Références

Édition du: 24/09/2021

M'écrire

Brèves de Maths

 

INDEX

 

Arithmétique

Algèbre

Analyse

Exponentielles

Introduction

Valeur

Fractions

Analogies

Propriétés

Formules

Dénombrements

Base

Dévelop ex

 

 

FRACTIONS EXPRIMANT "e"

La troisième fraction n'est par une réduite, mais sa forme palindrome est facile à retenir.

 

Sommaire de cette page

>>> Fractions continues et réduites de e

>>> Calcul de la fraction continue de e

>>> Exemple de calcul d'une réduite

>>> Table des réduites

>>> Une autre fraction continue notable

>>> Fractions "factorielles"

>>> Fractions progressives

>>> Comparaison

 

Débutants

Exponentielle

 

Glossaire

Nombres

  Voir Mnémotechnique – Retenir les chiffres de e

 

 

Fraction continue et réduites de "e"

haut

 

 

Forme développée

Les dix premiers termes de la fraction continue.

 

Pour info

 

  

 

Forme abrégée

de la fraction continue

Les cent premiers termes

 

Notez la régularité de la progression des termes.

 

Le nombre e est irrationnel car son développement en fraction continue est infini.

 

e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, 1, 20, 1, 1, 22, 1, 1, 24, 1, 1, 26, 1, 1, 28, 1, 1, 30, 1, 1, 32, 1, 1, 34, 1, 1, 36, 1, 1, 38, 1, 1, 40, 1, 1, 42, 1, 1, 44, 1, 1, 46, 1, 1, 48, 1, 1, 50, 1, 1, 52, 1, 1, 54, 1, 1, 56, 1, 1, 58, 1, 1, 60, 1, 1, 62, 1, 1, 64, 1, 1, 66, 1, 1, …]

 

 

Lecture: e est égal à la fraction continue dont le premier terme est 2 suivi indéfiniment de triplets dont les termes centraux sont les nombres pairs successifs et les deux autres sont 1.

 

Autre écriture qui généralise l'écriture en 1, 2k, 1.

Le 2 est remplacé par 1, 0, 1

e = [1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, …]

 

 

Réduites de e

Les dix plus petites valeurs.

 

Les réduites sont les fractions obtenues en calculant la fraction à chaque ajout d'un étage supplémentaire.

Anglais: convergents.

 

  

 

 

Intérêt des réduites

 

Avec la réduite, il n'est pas possible de trouver une meilleure approximation ayant un dénominateur plus petit.

 

Théorème de la meilleure approximation rationnelle

Une réduite est la "meilleure approximation" d'un nombre irrationnel. Elle vérifie:

 

Autre formulation: pour toute fraction a/b avec b ≤ d:

On ne retrouve l'égalité que pour a = n et b = d.

 

 

 

Calcul de la fraction continue de e

haut

 

Méthode

 

Conserver la valeur entière du nombre.

Isoler la partie décimale du nombre.

Calculer son inverse, lequel devient le nombre

Recommencer.

Calcul

 

Programme (Maple)

But

Calculer la liste des termes de la fraction continue de la constante e.

 

Commentaires

Initialisation. Déclaration d'une liste vide L.

Demande que les calculs soient effectués avec 20 chiffres significatifs (ne pas le faire, expose à des erreurs d'arrondis)

Boucle avec dix itérations.

Extraction de la valeur entière n de e (le nombre).

Calcul de l'inverse de la partie décimale du nombre.

Ajout du nouveau terme n dans la liste L.

édition de la liste L en bleu.

 

Voir Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide

 

 

Exemple de calcul d'une réduite

 

   

 

On trouve parfois cette notation (plus facile à imprimer)

 

Table des réduites de e et leur valeur

haut

 

Tableau pour les 25 plus petites réduites de e

 

Exemple avec la ligne # 4:

Le terme supplémentaire k dans la fraction continue est 1.

La réduite est la fraction 19/7 qui vaut 2,714286 …

Son écart par rapport à la valeur exacte de e est égale à 0,39 10-2 = 0,0039…

 

Voir Réduites d'autres constantes

 

 

Une autre fraction continue notable pour e      et      celle du carré de e

La valeur décimale de celle-ci est:

2,71828165…

 

 

= [7, 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8…]

 

 

Voir Autres fractions continues pour e (moins simples)

 

 

Tout nombre M par Euler

Euler trouve cette fraction continue applicable à tout nombre réel.

Avec M = 1, on retrouve la fraction continue exprimant e.

De fractionibus continuis dissertatio – Euler

 

 

 

FRACTIONS à partir des factorielles

haut

 

Expression en factorielle

 

 

Calcul en utilisant la formule en exponentielles

 

 

et réduction au même dénominateur à chaque ajout d'un terme.

 

Voir Approche de "e" est irrationnel

 

 

 

FRACTIONS progressives – Étude

haut

Fraction proches de  la valeur de e

Les réduites sont les meilleures approximations de e.

Cependant nous allons recherche un algorithme de calcul de fractions se rapprochant au maximum de la valeur de "e".

 

Principe de l'algorithme

Recherche des fractions à dénominateurs croissants pour lesquelles l'écart avec "e" diminue.

Le dénominateur D étant donné, on calcule la valeur entière de X = D . e. On essaie les deux fractions suivantes qui encadrent "e":
X / D et (X + 1) / D.

 

Programmation de l'algorithme

 

ECARTENREGISTRE:=10

 

pour D de 1 à 10 000 faire

 

calculer X = tronque (D . e)

pour N de X à X + 1 faire

 

FRACTION:= N / D

ECART:=  absolu( exp(1) – FRACTION )

 

si ECART < ECARTENREGISTRE alors

imprimer (N, D)

ECARTENREGISTRE:= ECART

 

fin du si

fin du pour

fin du pour

Voir Programmation

 

Tableau de valeurs


 Efficacité = 100 x (écart -écart précédent) / écart précédent

 

 

 

Comparaison

haut

 

Méthode

On compare les trois types de fractions obtenues.

On les classe par écarts décroissants par rapport à la valeur de "e".

 

Exemple

878 / 323 est une fraction notable car formée avec deux palindromes

 

Lecture

Type de Fraction: R réduite; F avec les factorielles; E fraction approchée.

Le rang pour chaque type est en #.

Fractions.

Valeur décimale tronquée aux chiffres exacts.

Écart avec la valeur exacte de e, laquelle valeur est rappelée en bas du tableau

 

 

Tableau de valeurs



Comparaison  (trois valeurs en bleu foncé)

Comme le dit la théorie, la réduite (R) issue de la fraction continue est la plus efficace, la plus économe en quantité de chiffres. Avec un calcul d'écart minimum (E), on retrouve souvent la réduite. Les valeurs obtenues avec les factorielles ne sont pas particulièrement performantes.

 

 

GRAND MERCI à Thierry de la Rue pour les améliorations apportées à cette page

 

Haut de page

 

 

 

Suite

*    Formules

*    Valeurs de "e"

*    Fractions continues

*    Suites de Farey

*    Réduites des constantes usuelles

Voir

*    Constantes

*    Exposants et puissances

*    Exposants et puissances  Index

*    FractionGlossaire

*    Fraction particulière

*    Fractions continues

*    Logarithmes

*    Nombre d'or

*    Nombres rationnels

*    Pi

*    Théorie des nombres

Sites

*      Fraction continue – Wikipédia

*      OEIS A003417 – Continued fraction of e

*      OEIS A133570 – "Exact" continued fraction of e

*      OEIS A001204 – Continued fraction for e^2

*      OEIS A005131 - A generalized continued fraction for Euler's number e

*      e Continued Fraction – Wolfram MathWorld

*    Continued fraction for e – Todd and Vishal's blog

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/ExpoFrac.htm