NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Constante

 

Débutants

Constante PI

Généralités

 

Glossaire

PI

 

 

INDEX

Constante PI

 

Introduction

Calcul

Formules

Propriétés

Historique

Valeur

Décimales

Curiosités

Terminale

 

Sommaire de cette page

>>> Fraction – Réduites 

>>> Séries égales à

>>> Formules avec arc tangente

>>> Les dernières formules de calcul de

>>> Méthode algorithmique de calcul de

>>> Formules des derniers records

 

 

 

 

 

FORMULES valant  

 

*    Elles sont très nombreuses depuis les premières données par Viète ou Wallis vers les années 1600.

*    Curieux de voir cette constante transcendante définie à l'aide de fractions rationnelles, certes poursuivie jusqu'à l'infini, mais étonnant tout de même.

 

Voir Actualités 

 

 

FRACTIONS ou Réduites de

 

Fraction

 

*      La fraction continue exprimant  permet de définir des fractions de plus en plus précise approximant la valeur de .

 

 

ou en abrégé:  = [3 ; 7, 15, 292, 1, 1, 1,...]

 

Réduites

 

*      Les réduites sont calculées en prenant plus ou moins de termes:

 

Suite du tableau >>>

 

Cas de 355 / 113

 

*      Fraction remarquablement simple pour une précision sur six décimales. Elle est facile à retenir:

Doublement des premiers nombres impairs 11 33 55.

 

*      Elle est précise à un point que cette valeur est utilisée pour le calcul des engrenages.

Valeur découverte par Adrien Métius.

 

*      Tous les nombres rationnels compris entre  et 355/113 ont un dénominateur > 33 102.

 

 

 Imaginaire!

 

 

Voir Identité d'Euler

 

 

 

SÉRIES ÉGALES à

*       Formule établie en 1682 par Gottfried Leibniz (1646-1716).

*       Gottfried Leibniz

*       Trouvée par  John Wallis en 1655. Un des premiers produits infinis de l'histoire.

*       François Viète (1592 Un des premiers produits infinis de l'histoire.)

*       Lord Brouncker (1620-1687).

 

Voir Fraction continue

 

 

 

 

*       Formules d'Euler (1707-1783)

 

*       Zêta quatre: nombre transcendant.

*       D'après la fonction zêta de Riemann

*        

 

*       Isaac Newton calcula 16 décimales de  avec 22 termes de cette suite en 1666 (année de la Grande Peste).

*       Newton (1642-1727)
Cette formule converge assez rapidement: plus de 30 décimales exactes avec le 50e terme.

 

*       Sharp

*       Euler

Basée sur Pi  = 4(4arctan(1/5) – arctan(1/239))

*       Formule de Machin (1680-1752). Premier à calculer 100 décimales de Pi.

 

*       Bauer (1859)

*       Ramanujan (vers 1910)

Celle formule oscille en convergeant très lentement.

Avec 10 000 termes, nous n'en sommes toujours qu'à 0,6% de part et d'autre de la valeur exacte.

 

Ramanujan

Ramanujan

Une autre des innombrables formules de Ramanujan reliant Pi  / Gamma / Racine de 2

Voir Fonction gamma;    par exemple:  

 

 

*       Factorielle généralisée de 1/2

*       Voir Principe du calcul

 

*       Intégrales de Fresnel (1788-1827)

*       Intégrale de Gauss

*       Formule de Fragnano

Avec k la quantité de radicaux.

*       Formule de Ramanujan

 

  

FORMULES avec ARC TANGENTE

Arc Tangente est noté " At "

 

*       L'utilisation des formules en arc tangente permet d'exprimer Pi selon une grande variété. Le tableau suivant donne quelques exemples.

Voir Approche du calcul avec les Arctg

Valeur de  / 4

Les indices - exposants renvoient au tableau in fine

 

 

 

 

Formule de Grégory-Leibniz 

 

*      Elle est basée sur la formule de James Gregory (1639-1675):

 

 

On notera que           /4 = 45°
et que                 tan (
/4) = 1

ou encore     arctan () = /4

Alors, avec x  = 1:

 

 

*      Curieusement, il n'y a pas trace de valeur de  chez Gregory, et la formule est attribuée à Leibniz (1682).

*      Malheureusement, cette formule n'est pas très efficace: il faut calculer 300 termes pour obtenir 2 décimales. Pour 100 décimales, il faudrait plus de termes qu'il n'y a de particules dans l'Univers!

*      Avec 30° =  /6 = arctg  (1/3), on obtient les formules d'Abraham Sharp.

 

*      La formule de Leibniz incite à la prudence car elle donne progressivement les décimales de Pi, avec des ratées. par exemple les décimales 6, 17, 18, 29 sont fausses. L'explication est récente; elle dépasse largement le cadre de ces pages.

 

F  = 3,1415906535 8979324046 2643383269 5028841972 913993751

  = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 693993751

 

Voir Programmation de ce calcul / Démonstration

 

 

 

La formule de Machin

 

*      Elle donne un exemple de formulation plus pratique

 

 / 4 = 4 . arctan (1/5) – 1 . arctan (1/239)

 

 

*      Le premier terme va décroître de 5² = 25 à chaque nouveau calcul et le deuxième, encore mieux de 239²

  Suite Formule de Machin

 

*      On améliore encore en utilisant les nombres premiers, en espace complexe, ou dans le monde des entiers gaussiens. Avec les simples entiers, il y a une seule expression d'un nombre en produit de nombres premiers, alors qu'il y en a plusieurs en nombres gaussiens. On peut donc donner plusieurs formulations de  en arctan.

 

 

 

 

 

LES FORMULES récentes

pour CALCULER 

 

*      Les scientifiques utilisent une curieuse formule 4 pour calculer

 

 

*      Formule trouvée (1910) par le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan né en 1888. Démontrée en 1985. Avec cette formule, on a calculé  avec 17 millions de décimales, et depuis on a fait encore mieux dans la course aux décimales de . Les derniers records de calcul utilisent des formules établies à partir de relations entre intégrales elliptiques. Autres

 

Par exemple5

  

 

*      Avec cette formule David et Grigory Chudnovsky ont obtenu plus de un milliard de décimales en 1989.

 

Formules utilisée par Fabrice Bellard en 2009 pour établir son record:

 

Formule de Chudnovsky

 

Formule de Bellard (1997)

 

*      Le 31 décembre 2009, Fabrice Bellard, français, calcule 2 700 milliards de décimales de Pi. Il a calculé le développement de Pi en base 2 à l'aide de la formule de Chudnovsky puis a vérifié avec sa propre formule. Il termine en convertissant son résultat binaire en base 10.

*      Il lui a fallu 130 jours de calcul sur un ordinateur de bureau. Pourtant, sa méthode est vingt fois plus efficace que les méthodes connues jusqu'alors.

 

 

 

 

Formules utilisées

pour les derniers records

Voir Actualités 2010 

 

 

Méthode ALGORITHMIQUE de calcul de

 

*      La méthode algorithmique classique est basée sur une étude de Gauss relative  à la moyenne arithmético - géométrique de deux nombres.

*      Au lieu d'utiliser une suite infinie, le calcul s'effectue en boucle (calcul récursif). Chaque boucle (itération) permet de doubler la quantité de décimales. Avec 19 itérations on obtient déjà un million de décimales.

 

Algorithme 

*      On calcule

(A+B / 4C

*      Selon la méthode suivante:

Y = A

A = (A+B)/2

B =  BY

C = C – X(A-Y)²

X = 2X

Pi = (A+B / 4C

 

*      Avec les valeurs initiales:

A = X = 1

B = 1/ 2

C = 1/4

 

Résultats

 

14 décimales au quatrième passage!

 

 

 

CHIFFRES DE

Voir Valeur de Pi

 

 

 

Suite

*    Propriétés de la constante Pi

*    Calcul des réduites de Pi

*    Pi - Glossaire

*    Pi - Dictionnaire des nombres

*    Cercle

Autres relations

*    Approximation de Pi avec 163

*    Formule de Stirling (factorielles)

*    Relation d'Euler: e, i et Pi

Voir

*    Arctg

*    Calcul mentalIndex

*      Construction approchée de Pi

*    GéométrieIndex

*    Isopérimètre

*    Nombres premiers dans Pi

*    Réduites de Pi - Calculs

*    Théorie des nombres Index

Site de référence

*    L'Univers de Pi de Boris Gourevitch

Sites

*    Faire: "formules pour Pi"

*    Anglais: "list of formulae involving Pi"

*    Pi formula from MathWorld

*    Identities by Ramanujan (Simon Plouffe)

Livre de référence

*    Le fascinant nombre Pi – Jean-Paul Delahaye – Pour la Science, Belin – 1997

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PiFormul.htm