NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Puissances

 

Puissance

Chiffres

Comparaison

Puissance de 2

Racine

Racine carrée

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Racine de 2

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Méthode générale – Exemples 1, 2 et 3

>>> Exemple 4

>>> Exemple 5

>>> Bilan

 

 

 

 

Comparaison entre PUISSANCES

 

Comment comparer la valeur de deux puissances sans calculer leur valeur?

 

215 < ? > 221

 

 

 

APPROCHE

 

*    Lorsqu'on peut calculer, la comparaison est simple:

 

 

*    Mais, comment s'y prendre pour des puissances plus élevées? Il n'existe pas de formules générales qui donnent le résultat immédiatement.

*    Par contre, il existe des méthodes générales. Je vous propose la suivante utilisant les notions d'arithmétique élémentaire, sans passer par les changements de base et les logarithmes

 

Voir Calcul mental des carrés

 

 

Méthode générale

 

*    Faire passer toutes les puissances du même côté, en prenant la racine mième de chacun des deux membres.
On se souvient que:

 

 

*    Ce qui revient à comparer une puissance à un simple nombre.

*    La plupart du temps, cela suffit à conclure.

 

 

Exemples

 

*    Dans le dernier exemple, on aboutit à une puissance décimale.

*    Avec une calculette, il est facile de calculer sa valeur: en utilisant la fonction élévation à la puissance  yx .

 

 

 

Exemple 4

On applique la méthode générale

 

*    Comparez:

 

*    Notre méthode

 

 

*    Comparaison évidente

 


1026        et    803

 

1026/3      et    80

108,6…     et    80

 

108,6…     >>    80

 

 

Exemple 5

On cherche à comparer avec un nombre voisin

 

*    Comparez:

*    Méthode générale

*    Effectivement:


521        >?     2110

52,1        >?     21

52,1        >       21

 

 

*    La méthode générale marche bien. Celle présentée ici peut rendre des services dans certains cas particuliers.

*    On cherche comment rapprocher les nombres. On prend un nombre:

plus petit à gauche ou

plus grand à droite.

*    Ceci dans le but de ne pas changer l'inégalité supposée.
Ici on va rapprocher 21 de 5 en prenant 25 (
plus grand à droite)

 

 

*    Comparez:

 

*    Rapprochement des nombres:

 

 

*    Méthode générale:

 

 

*    Manifestement:

 

*    Vérification:

 


521        >?    2510

 

521        >?    510 x 510

521        >?    520

 

521/20     >?    5

51,05      >?    5

 

51,05       >      5

 

521    4,8 … 1014

215   1,7 … 1013

  

 

Bilan

La méthode générale marche bien à tout coup à condition de disposer d'une calculette scientifique avec la fonction puissance (xy). Par exemple, nous savons que 85 = 32 768 et 1812 = 32 761 avec un écart minime égal à 7. La méthode générale donne 85/2 = 181,019… > 181.

Sinon, pour un calcul de tête, il est possible d'employer des majorants pour lesquels la comparaison devient plus évidente.

 

 

 

 

Suite

*   Puissance de 2

*    Exposants - Exercices pratiques

*    Unité des puissances

*    Chiffres dans les puissances

*    Écarts entre puissances

Voir 

*    Exponentielles

*    ExposantsIndex

*    Limites de la fonction puissance

*    Logarithmes

*    Puissances de 10

*    Théorie des nombresIndex

*    Zéro et infini

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