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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Théorie mathématique

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

 

Calculs

 

Jeux

Construction

Méthode d'Euler

Méthode diagonale

Symétrie

Latin

Gréco-latin

Échelle alternée

Parallélogramme

 

Sommaire de cette page

>>> Carré magique d'ordre impair – Caractérisation

>>> Programmation pas à pas et explication de la formulation

>>> Formulation

>>> Programmation

>>> Exemples de résultats

>>> Bilan

>>> Exemple sur tableur

>>> Généralisation à un mouvement quelconque

     >>> Programmation

     >>> Analyse des ca qui marchent

 

 

 

 

 

Mathématiques des Carrés Magiques

La méthode diagonale, escalier, placement, de la Loubère, ou méthode hindoue

Programmation

 

On connait la méthode de construction des carrés magique impairs avec la méthode de la diagonale. Comment établir une relation pour chaque case et programmer la réalisation d'un tel carré d'ordre quelconque impair.

Étude détaillée d'un cas simple puis généralisation et conditions de réusiite du carré magique.

 

 

 

Carré magique d'ordre impair – Caractérisation

Ordre

n

5

Dernier nombre

Nn,n = n²

25

Nombre central

13

Somme magique

65

Nombre en rangée I

et colonne J

 

Explications ci-dessous

(objet de cette page)

I = 1, J = 1

N1,1 = 17

Autre expression de Q

Rappel: les deux crochets bas signifient valeur-plancher.

En effet:

n = 7

(n – 1) / 2 = 3

n/2 = 3,5 dont le plancher est 3.

 

 

Programmation pas à pas

et explication de la formulation

 

Prenons l'exemple du carré 7x7, construit avec la méthode diagonale.

En maths, il est plus simple de prendre les carrés avec les nombres de 0 à 48.

Le zéro est placé au milieu en haut. La progression diagonale est vers la droite et vers le haut. À chaque multiple de 7, on rompt la progression en plaçant le nombre une case en-dessous.

 

On note bien que le maximum 48 se trouve au milieu en bas et que le nombre médian 24 est au centre.

Décomposition de ce carré en deux matrices l'une des quotients par 7 et l'autre donnant les restes (le modulo 7).

 

On retrouve, par exemple le nombre 29 en haut à gauche en prenant les cases correspondantes sur ces deux tableaux et en faisant 7 x 4 + 1.

 

En abrégé, on écrit:

 

CM = 7 Q + R

 

 

Formulation

 

Quotient

 

On remarque que chaque nombre occupe une diagonale. Une telle diagonale est caractérisée par i + j = constante.

 

On comprend que pour rester dans le cadre des nombres de 0 à 6, il faut travailler modulo 7.

 

Pour le 3, la diagonale jaune:

i + j = 8 => 1 en mod 7

Or, la valeur doit être 3; il faut ajouter 2:

 

 

Dans le cas n = 9 : i + j = 9 + 1, soit 1 mod 9. Or , la diagonale vaut 4 (compter: 0,1,2,3,4). Il faut ajouter 3.

 

Dans le cas général, il faut ajouter (n – 1)/2 – 1.

 

 

 

 

 

Restes

 

Cette fois la diagonale principale (jaune), comme les autres, montre la suite des nombres modulo 7 (ce qui veut dire qu'à 6, on repart à 0).

Sur cette diagonale: i + j = 8, soit  1 mod 7

La valeur que nous cherchons est égale à j – 1 (Ex: pour j = 1, la valeur est 0)

 

 

Dans le cas général, cette formulation est indépendante de n.

 

 

 

 

Programmation

 

Implémentation sous Maple

 

Commentaires

 

Réinitialisation.

Introduction de l'ordre du carré en n.

Grille du carré magique dans la matrice CM (matrice = array en anglais).

Mise en route de deux boucles en I et J pour réaliser une analyse lignes, colonnes (comme un balayage télévision).

 

Calcul de Q et R selon les formules trouvées.

Calcul du nombre à placer dans le carré magique (CM) en ligne i et colonne j.

 

Fin des deux boucles.

 

 

Impression de la matrice obtenue.

 

C'est le carré magique d'ordre 7, construit avec la méthode diagonale. Pour obtenir le carré conventionnel commençant par 1, simplement ajouter 1 à chaque nombre: CMi,j = n.Q + R + 1.

 

 

Voir ProgrammationIndex

 

Exemples de résultats. Attention: la valeur de "n" doit être impaire

Carrés magiques conventionnel avec les nombres de 1 à n²

 

Carré 9x9

 

Carré 11x11

 

Carré 25x25

 

Bilan

Une fois la formulation établie, ce qui constitue la principale difficulté, la programmation est très simple: mise en place de deux boucle de balayages en lignes et colonnes. Applicable à tout langage de programmation.

Une telle formulation est également propice à un développement sur tableur. Il suffit d'écrire la formule en semi-relatif (utilisation du symbole $) dans une case et de copier cette formule pour toutes les cases du carré.

 

 

 

Exemple d'implémentation sur tableur

 

Notez le +1 final pour obtenir le carré magique conventionnel.

 

 

Méthode

Écrire les nombres en rouge (i et j).

 

 Copier-coller la formule dans la cellule F2.

 

Tirez la poignée (tout petit carré noir) vers le bas.

 

Désignez la première colonne complète et tirez la poignée du bas vers la droite.

 

Le carré est terminé.

 

Vous pouvez vérifier les sommes (en bleu)

 

 

Allure de la feuille de calcul

Formule pour la cellule F2 (qui, calculs faits, donne 30):

 

=7*(MOD($E2+F$1+2;7))+MOD($E2+2*F$1-2;7)+1

 

Pour n impair quelconque utilisez cette nouvelle formule. N'oubliez pas de prolonger les valeurs indices en rouge.

Formule pour la cellule F2

pour n impair quelconque placé en B2

 

=$B$2*(MOD($E2+F$1+($B$2-1)/2-1;$B$2))+MOD($E2+2*F$1-2;$B$2)+1

 

 

Généralisation à un mouvement quelconque

 

Paramètres de construction (avec exemple n = 5)

Position du 1 en x = p  et y = q  (Ici 2,2)

 

Règle n°1: le 2 est positionné en x + a et y + b; le nombre 3 est alors en x + a, y + 2b, etc. Tous les calculs étant modulo 5.
Ici: a = 1 et b = 3, alors le 2 est en (3, 5) et le 3 est en (4, 8) soit (4, 3) mod 5.

 

Règle n°2 de rupture au multiple de 5: le 6, successeur de 5 est placé en x + c et y + d.
Ici: c = 4 et d = 4  (ou -1 et -1).

 

Notons g un indicateur qui indique dans quelle tranche de 5 se trouve le nombre N du carré magique.

Ce qui induit qu'un nombre N se trouve en position (i, j) telle que:

*       Le premier terme de i ou de j témoigne de la progression régulière;

*       Le second terme tient compte de l'effet de rupture.

 

 

 

Programmation Maple

 

 

Commentaires

 

 

N est l'ordre du carré, CM la matrice (array) du carré magique.

Introduction des six paramètres.

Boucle avec les nombres N de 1 à n²

Calcul de l'indictauer de tranche q et des valeurs de i et j, coordonnées de placement du nombre N.

Mémorisation de N à sa place dans la matrice. Les coordonnées i et j sont incréméntées pour tenir compte du fait que la première ligne de la matrice porte le n°1, alors que i et j commencent par 0.

Impression des paramètres et du carré magique.

 

Les conditions d'obtention d'un vrai carré magique selon les valeurs des paramètres est difficile à formaliser.

On préfère vérifier les sommes magiques pour confirmer si le carré est magique ou non.

 

L, C et Diag sont des listes qui contiendront les sommes sur les lignes, colonnes et diagonales.

Impression de ces listes.

 

 

Impression des paramètres utilisés

 

 

 

Le carré magique

 

 

 

 

 

Les sommes magiques.

 

Voir ProgrammationIndex

 

Les paramètres (a, b, c et d) qui engendrent un carré magique
pour p = 1 et q = 1

 

 

Le tableau résume les 48 cas où le carré est magique, dont les 24 noté en rouge sont symétriques de ceux notés en noir.

 

Aucun CM pour a = b (diagonale rose). Normal, il n'y aurait pas de règle de rupture.

 

Face à ce tableau de 400 cases (625, si on avait gardé a= 0 et b= 0), il serait vain d'essayer de trouver une fonction logique donnant tous les cas où le carré est effectivement magique.

 

Note: la littérature et Internet font état de conditions sur les PGCD de a, b, c et d par rapport à n. De telles conditions peuvent éliminer quelques cas sans cerner les cas possibles.

 

 

 

Sensibilité au positionnment du 1

 

Pour n = 5, selon les valeurs de p et q on passe de 32 possibiltés de carrés magiques selon les quatre autres paramètres, à un maximun de 66 cas sur 625 = 54 possibes.

 

 

 

 

 Pour n = 7, selon les valeurs de p et q on passe de 432 possibiltés de carrés magiques à 530 sur 2 401 = 74.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pour n = 11, selon les valeurs de p et q on passe de 0 possibilté de carrés magiques à 98 sur 6 561 = 94.

 

 

 

 

 

 

Suite

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