NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Carré magique 3 x 3

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

Carré 3 x 3

Propriétés

Premiers

Fibonacci

Date de naissance

Maths du carré 3x3

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Sommes et produits – Constat

>>> Formules

>>> Résolution du carré magique 3 x 3

>>>  Méthode classique

>>>  Introduction de deux variables

>>>  Cas de nombres au carré

 

 

 

 

 

Carré magique 3 x 3

Propriétés 

 

Propriétés générales du carré 3x3  >>>

Formules du carré magique 3 x3     >>>

Propriétés des sommes de produits                         >>>

Résolution des équations du carré magique 3x3   >>>

Retour Carré magique ordre 3

 

 

SOMMES et Produits – Constat

 

Soit le carré magique suivant

6

1

8

7

5

3

2

9

4

 

*    La somme des produits par 3 en horizontal vaut celle en vertical

6x1x8 + 7x5x3 + 2x9x4 = 48 + 105 + 72 = 225

6x7x2 + 1x5x9 + 8x3x4 = 84 +   45 + 96 = 225

 

*    La somme des produits par 2 en horizontal vaut celle en vertical

6x1 + 6x8 + 1x8 + 7x5 + 7x3 + 5x3 + 2x9 + 2x4 +9x4 = 195

6x7 + 6x2 + 7x2 + 1x5 + 1x9 + 5x9 + 8x3 +8x4 + 3x4 = 195

 

*    Est-ce un hasard?

 

 

 

 

Formules

 

*    Formules d'Édouard Lucas

X = a + b

Y = a – b – c

Z = a + c

XX = a – b + c

YY = a

ZZ = a + b – c

XXX = a – c

YYY = a + b + c

ZZZ = a – b

 

PRODUITS par 3

 

*    Calculons

* est le signe multiplier pour ne pas confondre avec x;

 ^ est le signe puissance

 

E1 = X*Y*Z+XX*YY*ZZ+XXX*YYY*ZZZ

E2 = X*XX*XXX+Y*YY*YYY+Z*ZZ*ZZZ

 

*    et développons

E1 = (a+b)*(a-b-c)*(a+c)+(a-b+c)*a*(a+b-c)+(a-c)*(a+b+c)*(a-b)

      = 3*a^3-3*a*c^2-3*b^2*a

E2 = (a+b)*(a-b+c)*(a-c)+(a-b-c)*a*(a+b+c)+(a+c)*(a+b-c)*(a-b)

      = 3*a^3-3*a*c^2-3*b^2*a

 

*    Effectivement E1 = E2

 

 

PRODUITS par 2

 

*    Calculons

E3 = X*Y+X*Z+Y*Z

      + XX*YY+XX*ZZ+YY*ZZ

      + XXX*YYY+XXX*ZZZ+YYY*ZZZ

E4 = X*XX+X*XXX+XX*XXX

      + Y*YY+Y*YYY+YY*YYY

      + Z*ZZ+Z*ZZZ+ZZ*ZZZ

 

*    et développons

E3 = (a+b)*(a-b-c)+(a+b)*(a+c)+(a-b-c)*(a+c)

      +(a-b+c)*a+(a-b+c)*(a+b-c)+a*(a+b-c)

      +(a-c)*(a+b+c)+(a-c)*(a-b)+(a+b+c)*(a-b)

     =  -3*c^2-3*b^2+9*a^2

 

E4 = (a+b)*(a-b+c)+(a+b)*(a-c)+(a-b+c)*(a-c)

     +(a-b-c)*a+(a-b-c)*(a+b+c)+a*(a+b+c)

     +(a+c)*(a+b-c)+(a+c)*(a-b)+(a+b-c)*(a-b)

    =  -3*c^2-3*b^2+9*a^2

 

*    Effectivement E3 = E4

 

Autres caractéristiques

 

*    Avec de la patience, il est possible de trouver d'autres formules, y compris pour les ordres supérieurs.

 

 

Section créée sur une idée de JEAN ARTIGUE professeur retraité de l'Éducation Nationale – Merci

 

 

Résolution des équations des carrés magiques

 

Résoudre les équations des carrés magiques

 

 

 

Plusieurs méthodes pour résoudre un carré magique.

 

*    Tester les permutations des nombres de 1 à n² pour connaître les cas magiques.

Cette méthode praticable pour n petit (3) est rédhibitoire. Pour n = 4, il y a déjà 880 carrés magiques sur 20 922 789 888 000 permutations (242 jours de calcul à raison d'un million de cas traités à la seconde.

C'est Frénicle de Bessy qui a trouvé ce nombre le premier en 1693. Ce compte exclut les carrés obtenus par rotations et réflexions.

 

*    Convay dans son livre Winning Way, propose une méthode recourant aux classes d'équivalence et à diverses transformations.

Méthode sans doute efficace mais réservée aux mathématiciens d'un certain niveau.

 

*      Finalement pourquoi ne pas mettre le carré magique en équations et résoudre le système d'équations. Plusieurs possibilités:

1) Résolution classique des équations; ce qui devient vite laborieux.

 

2) Utilisation de quelques astuces. Par exemple, soustraire une constante pour obtenir une constante magique nulle. Il y a encore plus fin! >>>

 

3) Utilisation de l'outil matrice et calcul des valeurs propres (eigenvalues) pour accélérer la résolution du système d'équations.

 

 

 

Carrés magiques 3 x 3

Équations

 

Avec les carrés d'ordre impairs, les sommes peuvent être ramenées à 0 en soustrayant une constante à tous les nombres. Celle-ci est égale à l'élément central soit: (n² + 1) / 2.

 

Cas n = 3

 

Résolution

Une manière astucieuse pour résoudre le système d'équations: introduction des valeurs P et Q qui symétrisent les résultats.

Somme des quatre équations impliquant e , l'élément central

d+e+f+b+e+h+a+e+i+c+e+g = 4m

a+b+c+d+e+f+g+h + 3e = 4m

3m + 3e = 4m

3e = m

Égalité pour ces quatre cas

d+e+f = b+e+h = a+e+i = c+e+g = m = 3e

d+f = b+h = a+i = c+g  = 2e

En posant P et Q pour symétriser

a + i = e + e

a – e = e – i = P

a = e + P
i = e – P

c + g = e + e

c – e = e – g = Q

c = e + Q
g = e – Q

En tenant compte des sommes magiques sur les lignes et les colonnes

a + b + c = m = 3e

e + P + b + e + Q = 3e

b = e – P – Q

 

a + d + g = 3e

e + P + d + e – Q = 3e

d = e – P + Q

g + h + i = 3e

e – Q + h + e – P = 3e

h = e + P + Q

 

 c + f + i = 3e

e + Q + f + e – P = 3e

f = e + P – Q

Soit le carré magique avec ses équations

 

Carrés

Existe-t-il un carré magqiue d'ordre 3 dont les nombres sont des carrés?

Reprise de équations trouvée en indiquant que les nombres sont des carrés

A² = e + P

B² = e – P – Q

C² = e + Q
D² = e – P + Q

E² = e

F² = e + P – Q

G² = e – Q

H² = e + P + Q

I² = e – P

 

En sommant les éléments symétriques

=> 2 E² = quatre dois somme  de deux carrés

A² + I² = B² + H² = C² + G² = F² + D² = 2e = 2E²

Avec les produits

=> E4 est quatre fois somme de deux carrés

A²I² = (E² + P)(E² – P)                  = E4 – P²

B²H² = (E² – (P+Q)) (E² + (P+Q)) = E4 – (P+Q)²

C²G² = (E² + Q)(E² – Q)                = E4 – Q²

F²D² = (E² + (P–Q)) (E² – (P–Q))  = E4 – (P–Q)²

Conclusion

À ce stade, les conditions d'obtention du carré magique carré sont sévères. 

Toujours est-il que l'on ne connait aucun tel carré.

Un solution approchée: somme magique sur toutes les lignes pasant par le centre.

Voir Carrés magiques avec carrés et cubes

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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*    Cubes magiques

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Voir

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