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OBJETS FRACTALS

 

Débutants

Fractales

Fractales de MANDELBROT & JULIA

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Objets fractals

 

 

pou 1.JPGSommaire de cette page

>>> Fractales de Mandelbrot – Figure du pou

>>> Explications: comment se forme le dessin

>>> Exemples de fractales de Mandelbrot

>>> Fractales de Julia

>>> Biographies 

 

 

 

 

FRACTALES

 

*       Comment engendrer des dessins fractals à l'aide des nombres complexes?

*       Par itération, par un processus récursif.

Voir Spirales

  

 

FRACTALES DE MANDELBROT – Le POU

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*       Figure classique de fractale, très impressionnante et pourtant obtenue très simplement.

*       Il s'agit de décrire la convergence de la fonction récursive:

 

Zn = (Zn-1 ) ² + C

 

*       La nouvelle valeur (Zn) de la fonction est égale à l'ancienne valeur (Zn-1) au carré additionnée d'une constante (C).

 

 

 

Explications: comment se forme le dessin

 

*       Selon la valeur initiale Z0 de Zn et pour une valeur donnée de C, la fonction diverge rapidement vers l'infini, ou alors, converge vers une valeur fixe (cas où Zn < 1).

 

*       De manière surprenante, les zones de convergences sont intimement mêlées aux zones de divergences.

 

*       Pour obtenir un graphique, on exécute le calcul dans le monde des nombres complexes.

Z = X + i Y

 

*       Les valeurs de C = A + iB  pour lesquelles la valeur de Zn diverge sont enregistrées. Chacune de ces valeurs est représentée par un point noir sur un graphique en coordonnées classiques x et y avec A sur l'axe des x et B sur l'axe des y.

*       Les couleurs sont obtenues en codant par une couleur la vitesse de divergence de Zn.   

 

*       Le programme réalisé sur ordinateur est particulièrement simple pour un effet spectaculaire.

 

*       On peut recommencer le dessin pour différentes valeurs initiales de Z et obtenir différentes figures fractales. Une autre représentation fractale qui donne une idée de la convergence en fonction de la valeur initiale de Z0 s'appelle l'ensemble de Julia.

 

*       Il existe quantité de fonctions qui donnent de magnifiques figures par itérations: z3, ez, etc.

 

 

 

 

 

Exemples de courbes fractales de Mandelbrot

 

*       On obtient ces courbes en agrandissant une partie de la figure de départ, dite du "pou".

 

 

 

FRACTALES DE JULIA 

 

 

Comparaison

 

Mandelbrot

Julia

*    On fixe

Z0

C

*    On applique la formule de récurrence

Zn = (Zn-1 ) ² + C

Zn = (Zn-1 ) ² + C

*    On balaye toutes les valeurs de

C

Z0

*    Dans certains cas, la valeur de Zn stagne; elle est bornée

On dessine C

tous les points pour lesquels la suite est bornée.

On dessine Z0

tous les points pour lesquels la suite est bornée.

  

Exemples de courbes fractales de Julia selon la valeur de C

 

  

 

Biographies

 

Gaston Julia (1893-1978 / 85 ans)

Mathématicien français

*       Né en Algérie.

*       De retour de la guerre de 1914-18, il publie un "Journal de Mathématiques Pures et Appliquées"

*       Peu de suite à l'époque. (Manque d'outils de calcul puissants).

*       Repris par Benoît Mandelbrot pour l'étude des fractales.

 

Benoît Mandelbrot (1924-2010)

Mathématicien français

*       Originaire de Pologne.

*       Études à Paris dont École Polytechnique.

*       Embauché par IBM, États-Unis.

*       Travaille sur les courbes de type flocon de Koch.

*       En 1974, il publie "Les objets fractals, forme, hasard et dimension".

*       Il crée la théorie des fractales (du latin "fractus" se briser

*       Il remarque que de nombreux objets dans la nature sont de type fractal. Y compris la finance.

*       Nombreux pris et renommée mondiale.

*       En 1987, il rejoint l'université de Yale.

 

 

Dans un monde toujours plus complexe, les scientifiques ont besoin des deux outils:

*    des images aussi bien que des nombres,

*    de la vision géométrique aussi bien que de la vision analytique.

Benoît Mandelbrot

Voir Pensées & humour / Nombres / Géométrie

 

 

 

 

 

 

Suite

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Sites

*      Sites sur les fractals

*      Les Fractales

*      Fractal Science Kit – Fractal Generator – Ross Hilbert

Je recommande ce site

*      Les dimensions expliquées en relief animé de Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez – Le téléchargement mérite un peu de patience. Les animations et les explications valent vraiment le détour …

Aussi le billet coup de cœur

*      Horizon et coup de cœur de Marcel Thiriet sur les fascinantes fractales.

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