NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 11/03/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Nombres triangulaires et tétraédriques >>> A . n (n + 1) = B . m (m + 1) (m + 2) >>> A . n (n + 1) (n + 2) = B . m (m + 1) (m + 2) (m + 3)

NOMBRES CONSÉCUTIFS

Produit de consécutifs = Produits d'autres consécutifs

Quels sont les produits de p consécutifs égaux au produit de q consécutifs avec une pondération k.

Ils sont très nombreux …

Exemples avec k = 3 puis k = 2/3

Exemple: nombre triangulaire = nombre tétraédrique (le plus grand)

Approche
Reprenons l'exemple sous forme générique.
Avec le rapport k = 3, il a exactement cinq solutions.	1 x 2 x 3 3 x 4 x 5 8 x 9 x 10 20 x 21 x 22 34 x 35 x 36	= 3 x 1 x 2 = 3 x 4 x 5 = 3 x 15 x16 = 3 x 55 x 56 = 3 x 119 x 120	= 6 = 60 = 720 = 9 240 = 42 840
Nouvelle écriture ave k = a/b
Variantes de l'écriture de l'équation diophantienne avec (exemple): k = 3 / 1 = 6 / 2

Nombres triangulaires et tétraédriques
Les nombres triangulaires sont de la forme indiquée. On sait que tout produit de deux nombres consécutifs est divisible par 2. Les nombres tétraédriques sont de la forme indiquée. On sait que tout produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6.
D'où l'intérêt de la dernière identité ci-dessus qui considère les nombres qui sont à la fois triangulaires et tétraédriques.
Les cinq seuls tels nombres sont:
Ce sont les seuls.	Prouvé en 1966 par E.T. Avanesov.

Suite et programmation en Nombres tétraédriques

Liste de tels nombres

A . n (n + 1) = B . m (m + 1) (m + 2)
Exemple de lecture A = 2 et B = 1 n = 5 et m = 3 Alors N = 5 x 6 = 30 M = 3 x 4 x 5 = 60 Ce qui conduit à: A.N = 2 x 30 = 60 B.M = 1 x 60 = 60 Les lignes A = 3 reproduisent les résultats trouvés ci-dessus.	Tableau établi jusqu'à n = m = 10 000, A jusqu'à 10 et B = 1

Exemple de lecture A = 2 et B = 3 n = 9 et m = 3 Alors N = 9 x 10 = 90 M = 3 x 4 x 5 = 60 Ce qui conduit à: A.N = 2 x 90 = 180 B.M = 3 x 60 = 180

Tableau établi jusqu'à n = m = 100, A jusqu'à 10 et B = 2 à 10 et A et B premiers entre eux

A . n (n + 1) (n + 2) = B . m (m + 1) (m + 2) (m + 3)
Exemple de lecture A = 2 et B = 5 n = 3 et m = 1 Alors N = 3 x 4 x 5 = 60 M = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 Ce qui conduit à: A.N = 2 x 60 = 120 B.M = 5 x 24 = 120	Tableau établi jusqu'à n = m = 100, A jusqu'à 5 et B = 1 à 5 et A et B premiers entre eux

Suite	Florilège en guise d'introduction
Voir	100 en chiffres Carré pannumérique Carrés et consécutifs Concaténation et carrés (727) Égalité de sommes de consécutifs Faire N avec k chiffres identiques Jeux – Index Nombre têtu Opérations – Glossaire Somme de 1 à 100
Sites	OEIS A102349 – Numbers n such that binomial (n+1, 2) is in A027568. OEIS A027568 – Numbers that are both triangular and tetrahedral Palindromic tetrahedral – World Of Numbers – Patrick De Geest
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