NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Forme des nombres

 

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Consécutifs

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Formes et motifs

Index

Aperçu

Somme

Produit

Produit-Carré

 

Sommaire de cette page

>>> Florilège

>>> Cinq consécutifs

>>> Sommes simples

>>> Produits simples

>>> Division de consécutifs

 

 

 

 

 

NOMBRES CONSÉCUTIFS

 

Curiosités avec les chiffres consécutifs, comme:

12 = 3 x 4       (4 consécutifs)

12 = 3 + 4 + 5 (5 consécutifs)

 

Propriétés des nombres consécutifs, comme:

  Le produit de 3 nombres consécutifs est divisible par 6, au moins

 

Le PGCD de deux nombres consécutifs est égal à 1
          (aucun diviseur commun)

 

 

 

FLORILÈGE – Belles formules

 

*    1 + 2 = 3 : forme triviale. Voir Trois consécutifs.

 

*    Formes simples:
 

6

= 1 / 2 ( 3 x 4 )

4 consécutifs

Dans l'ordre

56

= 7 x 8

4 consécutifs

 

12

= 3 x 4

4 consécutifs

 

12

= 3 + 4 + 5

5 consécutifs

12 et son retourné en 6 consécutifs

21

= 6 + 7 + 8

5 différents

 

*    Suite régulière de nombres

Voir Nombres carrés

 

 

La somme de la suite ascendante descendante est égale

au carré du nombre le plus grand

Voir Nombres carrés / Application de cette propriété

 

 

*    Formes en puissance

 

+ 4² = 5²

33 + 43 + 53 = 63

(1 + 2 + 3)2 = 13 + 23 + 33

(1 + 2 + 3 + 4 )2 = 13 + 23 + 33 + 43

=   25

= 216

=   36

= 100

Voir Triplets de Pythagore / Somme au carré égale cube

 

    

*    Sommes et différences

 

1 + 2

2 + 3

3 + 4

4 + 5

= 2² – 1²

= 3² – 2²

= 4² – 3²

= 5² – 4²

Somme de deux consécutifs

= Différence de leur carré

 

*    Impairs et puissances d'un nombre

 

1 + 3 +   5 =   9 = 3 2

7 + 9 + 11 = 27 = 3 3

Sommes de 6 nombres impairs qui donnent les puissances du nombre 3

 

*    Et la perfection …

 

1 x 2 x 3 =

6

Nombre parfait

4 x 5 x 6 =

120

Nombre triparfait

7 x 8 x 9 =

504 = 220 + 284

Somme d'une paire amiable

 

 

*    Cubes consécutifs

 

1

=

13

=

1

8

=

23

=

3 + 5

27

=

33

=

7 + 9 + 11

64

=

43

=

13 + 15 + 17 + 19

125

=

53

=

21 + 23 + 25 + 27 + 29

216

=

63

=

31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41

343

=

73

=

43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55

 

 

 

 

Voir Cubes somme d'impairs

 

 

Cinq consécutifs

Trouvez cinq nombres consécutifs dont la somme est 100.

Formellement cette somme s'écrit:

n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10

En formant l'égalité:

5 n + 10 = 100 et 5n = 90 soit n = 18

Voir Nombres triangulaires comme 1+2+3+4 = 10 / Partition avec des consécutifs

 

 

 

SOMMES SIMPLES

 

Motifs

 

12 =

3 + 4 + 5

 

 

6 + 7 + 8

= 21

 

 

Autres, presque …

 

34

= 7 + 8 + 9 + 10

Somme de nombres consécutifs

Chiffres différents

45

= 7 + 8 + 9 + 10 + 11

Somme de nombres consécutifs

Chiffres non différents (le 1 est répété)

 

Ce genre de motifs trouvés pour 12 et 21 sont exceptionnels

 

 

Suite sans fin avec carrés

 

 

 

 

 

 

 

1 +

2

=

3

 

 

 

 

 

 

 

4 +

5 +

6

=

7

+ 8

9 +

10 +

11+

12

=

13

+ 14

15

16 +

17 +

18 +

19 +

20

=

21

+ 22

+ 23

+ 24

25 +

26 +

27 +

28 +

29 +

30

=

31 +

32 +

33 +

34 +

35

Etc.

Jusqu'à l'infini

 

 

 

 

 

 

*    À noter que le départ de chaque ligne est un carré, comme 25

*    Normal:

*       Deuxième ligne, en comparant les nombres de chaque côté de l'égalité:
de 5 à 7 il faut 2: de 6 à 8 il faut 2; soit un écart total de 2 x 2 = 2²

*       Troisième ligne: l'écart de 9 est obtenu avec trois fois une différence de 3 (10 à 13, 11 à 14 et 12 à 15)

*    Nous venons de constater une propriété commune à tous les carrés:

 

 

r² = n = – (n+1 + n+2 + … n+r) + (n+r+1 + n+r+2 + … n+r+r)

 

 

Exemples

 

5² = 25 = (26 + 27 + 28 + 28 + 30) + (31 + 32 + 33 + 34 + 35)

 

 

 

 

 

PRODUITS SIMPLES

 

Huit chiffres consécutifs

 

12

 

 

 

 

= 3 x 4

 

 

 

 

56

 

 

 

 

= 7 x 8

 

 

Motifs avec la suite des huit chiffres consécutifs.

 

Exploration

 

 

 

 

Division de consécutifs

Prouvez que:

Vraie pour n = 1  et  2.

 

Supposons que cette identité soit vraie pour n = k.

Ajoutons le terme suivant de chaque côté.

Le premier membre est égal au premier membre de notre égalité pour k+1.

 

Nous venons de montrer que  la formule est vraie pour k+1 si elle est vraie pour k.

Par induction, la formule est vraie pour tout n. 

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Nombres consécutifsIndex

*         Produit de consécutifs = carré ?

Voir

*         0,5 en chiffres

*         100 en chiffres

*         Carré latin pannumérique

*         Carré pannumérique

*         Carrés et consécutifs

*         Carrés Pannumériques

*         Chiffres en miroir

*         Concaténation et carrés

*         Croix pannumérique

*         Faire N avec k chiffres identiques

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