NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISIBILITÉ

 

Débutants

Division

Somme

 

Glossaire

Division

 

 

INDEX

 

Divisibilité

Général

Somme de q par q

Consécutifs

 

Sommaire de cette page

Tables

>>> Partitions en nombres consécutifs

>>> Quantités record de partitions

 

Propriétés

>>> Partition avec consécutifs – Propriétés

>>> Observations sur la divisibilité de la somme

>>> Mise en tableau

>>> Explications

>>> Bilan

 

 

 

 

SOMME de nombres CONSÉCUTIFS

 

1) Quels sont les nombres dont la partition est une somme de nombres consécutifs?

 

Exemples de partitions avec nombres consécutifs  

Tous les nombres impairs sont somme de deux consécutifs.

Les puissances de 2 ne sont jamais sommes de consécutifs.

Le plus petit nombre avec deux telles partitions est 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4.

 

 

2) Divisibilité de la somme de n nombres consécutifs?

 

Théorèmes sur la divisibilité d'une somme de consécutifs

La somme de 2k     consécutifs est divisible par   k.

La somme de 2k+1 consécutifs est divisible par 2k.

 

Le résultat est simple à trouver. Sa recherche peut faire l'objet d'un bon exercice sur tableur.

 

Voir Le produit de p nombres consécutifs est divisible par factoriel p >>>

 

 

Table des partitions avec nombres consécutifs jusqu'à n = 50

Voir TablesIndex

 

 

Quantité de partitions en nombres consécutifs

Records pour N jusqu'à 10 000

 

On s'intéresse aux multiparitions des nombres avec des nombres consécutifs. On note les premiers nombres à présenter une plus grande mutirépratition que le précécent (record).

Le nombre 9 a deux telles partitions; le suivant est 15 avec trois telles partitions; etc. Pour ne pas charger l'écriture, un indice indique la quantité de termes dans l'addition: 7 + …+ 115 signifie: 7 + 8 + 9 + 10 + 11 (cinq termes).

 

 



 

Voir TableIndex

 

 

 

Partitions avec des consécutifs – Propriétés

 

La somme de k nombres consécutifs est égale à:

 

n + (n+1) + (n+2) + … + (n+k)   =   kn + Tk

avec  Tk   le nombre triangulaire de rang k.

 

Ce tableau récapitule les formules pour k = 2 à 15 et montre les possibilités de partitions pour les nombres de 100 à 110.

Par exemple: À la ligne 5 du tableau, avec n = 18, la somme est égale à 5 x 18 + 10 = 100.

Ce qui veut dire que la partition de 100 commence par 18 avec 5 termes soit:

100 = 18 + 19 + 20 + 21 + 22


 

Autres exemples: 10 x 6 +   45 = 105 = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 5 x 21

  14 x 1 +   91 = 105 =        1 + 2 + …. + 14 = 14 x 15 / 2 = 105

  15 x 0 + 105 = 105 = 0 + 1 + 2 + …. + 14

 

Sur la colonne du 105, on retrouve le fait que 105 est sept fois partition de consécutifs (huit avec le cas trivial incluant le 0 initial).

 

Retour Partitions avec nombres consécutifs

 

 

 

Observations sur la divisibilité

de la somme de consécutifs

 

Un petit exercice sur tableur va nous permettre de faire les observations souhaitées.

*       En haut la suite des nombres entiers.

*       En S2 pour somme de deux consécutifs, la somme du nombre au-dessus et son prédécesseur. Comme 11 = 6 + 5.

*       En S3, la somme de trois consécutifs, et en Div3, le quotient de cette somme divisée par 3.

*       Etc.
 

 

 

 

*    Les sommes du type S3, S5, S7, S9 … SImpair sont divisibles par 3, 5, 7, 9…, Impair.

*    Les sommes du type S4, S6, S8, S10 … SPair sont divisibles par Pair / 2.
 

 

 

Mise en tableau

 

*    Établissons le tableau indiquant la divisibilité des sommes Sn.

 

 

*    En vert, mise en évidence du constat que nous avons fait.

*    Les nombres négatifs de la diagonale indique que ces sommes seraient divisibles si on leur retire ce nombre. Exemple S4 - 2 est divisible par 4. En effet s4 = {10, 14, 18 …}.

*    Les fractions1/2 et 1/3  indiquent que les sommes sont divisibles une fois sur 2 ou sur 3.

 

 

 

Explications

 

*    Est-ce magique? Quelle est le mystère?

*    Pour débusquer la règle, mettons les nombres consécutifs sous la forme n, n + 1, n + 2 … et effectuons la somme.

*    Par exemple: sur la colonne S3, on trouve:

*       n + 2 qui est bien le troisième nombre consécutifs;

*       3n + 3 qui est la somme de  n + (n+1) + (n+2); et

*       Cette somme est divisible par 3.
 

 

 

 

Bilan

La somme de n nombres consécutifs est divisible

*    par n pour n impair et

*    par n/2 pour n pair.

 

 

 

Suite

*         Entiers consécutifs en général

*         Formes diverses

*         Critères généraux

*         DivisibilitéIndex 

Voir

*         Calcul mentalIndex

*         Fermat

*         Produit de consécutifs – Factorielle tronquée

*         Théorie des nombresIndex

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*         Nombre 100

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