NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Par 37

Par 11… ou 99…

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Propriétés de ces nombres

>>> Exemples de cas de divisibilité

>>> Cas de 11, 111 …

>>> Calcul mental avec 99, 999…

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 11, 101, 1001…

et par 9, 99, 999 …

 

Critères de divisibilité avec ces nombres et leurs suites.

Si un nombre est divisible par un de ces nombres, il est aussi divisible par leurs facteurs premiers.

En bonus: cas particuliers et amusants de divisibilité par 99, 99…9 … >>>

 

 

Factorisation de ces nombres

Voir Repdigits / Repdigits en 9

 

 

 

Propriétés de ces nombres

 

Ces nombres sont proches, à l'unité près, d'une puissance de 10.

Selon cette puissance, le test de divisibilité s'effectue sur des blocs de mots de taille égale à l'exposant. Par exemple pour 999 et 1001, on formera des blocs de trois chiffres à partir de la droite. La somme est directe pour les nombres en 99 … et alternée pour ceux en 11, 101 …

 

 

Exemples

*    Par 9

123 456 789   1+2+3+4+5+6 = 45

*    Par 99

12 22 21 44  12 + 22 + 21 + 44 = 99 Divisible aussi par 9 ou 11

 

50 16  50+16 = 66 Divisible que par 11

*    Par 999

123 332 544  123 + 332 + 544 = 999

 

986 666 666 679  986 + 666 + 666 + 679 = 2 997

                                2 + 997 = 999 Divisible aussi par 3 ou 37

 

13 662 546  13 + 662 + 546 = 1 221

                      1 + 22 = 222 Divisible que par 37

*    Par 11

35 31  3 + 3 – 5 – 1 = 0

*    Par 101

16 09 50 57  16 + 50 – 9 – 57 = 0

 

1 48 73 09 52 69  1 + 73 + 52 – 48 – 9 – 69 = 0

*    Par 1001

123 579 456  123 + 456 – 579 = 0

 

3 208 576 527  3 + 576 – 208 – 527 = – 156

                          et 156 = 12 x 13 Divisible que par 13

 

 

Cas de 11, 111 …

 

Pour les repunits 11,  111  et suivants de n chiffres, tester les blocs de n chiffres.

 

English: To test for divisibility by 1/9 (10n – 1) and by its smaller prime factors if any, add the groups of n digits working from right to left.

 

*    Par 11

35 31  35 + 31 = 66

*    Par 111
et 37

13 703 616    13 + 703 + 616 = 1332   1 + 332 = 333

1 184   1 + 184 = 185 Divisible par 37 pas par 111

*    Par 1111,
41 et 271

1 3715 9616   1 + 3715 + 9616 = 1 3332  1 + 3332 = 3333

 

 

 

Cas particuliers de divisibilité

 

Calcul mental avec 99, 999…

 

Notez ce motif:

*       Les chiffres de 87 sont les compléments à 9 de ceux de 12;

*       La somme est égale à 99 par construction;

*       La concaténation 1287 est un multiple de 99; et

*       Le facteur 13 est égal au premier nombre choisi plus 1.

Cette propriété se vérifie facilement par l'algèbre =>

 

 

 

Justifiée également par:

*       Le nombre est divisible par 9 (1 + 2 + 8 + 7 = 18), et

*       Il est divisible par 11 (somme alternées nulle: 1 – 2 + 8 – 7 = 0).

 

N = 10a + b

M = 10a' + b'

avec a' = 9 – a et b' = 9 – b.

N + M = 10a + b + 10(9 – a) + (9 – b)

           = 10a + b + 90 – 10a + 9 – b

           = 99

 

100N + M =  1000a + 100b + 10(9 – a) + (9 – b)

           = 1000a + 100b + 90 – 10a + 9 – b

           =   990a + 99b + 99

           =  99 (10a + b + 1) = 99 (N + 1)

 

Florilège

 

 

10 + 89 => 1089 = 99 x 11

11 + 88 => 1188 = 99 x 12

12 + 87 => 1287 = 99 x 13

13 + 86 => 1286 = 99 x 14

18 + 81 => 1881 = 99 x 19

22 + 77 => 2277 = 99 x 23

33 + 66 => 3366 = 99 x 34

34 + 65 => 3465 = 99 x 35

35 + 64 => 3564 = 99 x 36

98 + 01 => 9801 = 99 x 99

  8 + 91 =>    891 = 99 x   9

 

Ce même motif marche avec trois chiffres ou plus.

 

123    + 876  =   999 =>  123876     =   999 x 124

1234 + 8765 = 9999 => 12348765 = 9999 x 1235

 

111111888888 = 999999 x 111112

222222777777 = 999999 x 222223

Le développement algébrique confirme cette propriété.

 

N = 1000a + 100b + 10c + d

M = 1000(9 – a) + 100(9 – b) + 10(9 – c) + (9 – d)

N + M = 9999

 

10000N + M = 9999 (1000a + 100b + 10c + d + 1)

                      = 9999 (N + 1)

 

Cas général

Exemple

123 456 789 876 543 210 = 999 999 999 x 123 456 790

Voir Calcul mentalIndex

 

 

 

Nombres de quatre chiffres divisibles par 11

 

Trois chiffres sur quatre sont fixés.

Quel est le quatrième pour que le nombre soit divisible par 11?

 

Exemples

123x => 1 + 2 = 4 et 2 + x = 4 => x = 2. En effet: 1232 = 11 x 112

5x26 => 5 + 2 = 7 et x + 6 = 7 => x = 1. En effet: 5126 = 11 x 466

 

 

 

 

 

Suite

*         Voir haut de page

*         Divisibilité par 42

*         Divisibilité de formes polynomiales

*         Division par 99

Voir

*         Nombres parfaits 

*         Théorie des nombresIndex

*         Calcul mentalIndex

DicoNombre

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