NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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MOTIFS & FORMES

 

Débutants

Général

REPDIGIT

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Motif

 

Repdigits

Repunits

Presque repdigit

999 …

Division des Repunits

Division de 999 …

888 …

Produits

Nombres périodiques

 

Sommaire de cette page

>>> Motif infini

>>> Cas de 999

>>> Motif itératif

>>> Explication

>>> Racine carrée de 9999…

 

 

 

 

9-REPDIGIT

 

Nombres avec le chiffre 9  répété.

 

Exemple de propriété avec le cube des 9-repdigits

Ce motif est itératif (semblable quelle que soit la quantité de 9) >>>

Voir Multiplication posée

 

 

 Motif infini

*       Le nombre 99 se prête à ces formes palindromiques. Le motif se prolonge indéfiniment avec les repdigits en 9.

*       Avec 98,  97 … on met en évidence des sommes retournées.

 

 

Cas de 999

 

*    Prenons par exemple 999, son double, son carré, son cube … et les sommes par paquets de 3.

                                         Résultat                                Somme 3                               

                 Nombre                                                                                                         999

                 Double          1 998                                     998 + 1 =                                 999

                 Carré             998 001                                 998 + 1 =                                 999

                 Cube              997 002 999                         997 + 2 + 999 =                      2 x 999

                 P4                   996 005 996 001                 996 + 5 + 996 + 1 =                2 x 999

                 P5                   995 009 990 004 999          995 + 9 + 990 + 4 + 999 =     2 x 999

 

*    En opérant par blocs de trois chiffres, la somme est égale au nombre 999 ou son double.

*    Avec la puissance 6, on trouverait le triple: 9996 = 994 014 980 014 994 001 => 2 997 = 3 x 999

 

Voir Nombres de Kaprekar

 

 

 

Motif itératif

Repdigit

Double

Carré

Cube

9

18

81

7 2 9

99

1 98

98 01

97 02 99

999

1 998

998 001

997 002 999

9 999

1 9998

9998 0001

9997 0002 9999

99 999

1 99998

99998 00001

99997 00002 99999

999 999

1 999998

999998 000001

999997 000002 999999

 

 

 

Explication

 

*    Propriété essentielle d'un repdigit en 9: Il est inférieur d'une unité à une puissance de 10.

 

                                9          =      10                1

                              99          =      100              1

                            999          =      1000            1

                            Etc.                                       

*    Le double de 999 devient:

                            999 x 2   =      (1000 – 1) x 2    =     1000 + 998 => 1 + 998 = 999

 

*    Le carré de 999 devient:

                            9992        =      (1000 – 1)2         =     1 000 000 – 2 000 + 1 =  998 000 + 1

 

*    Etc.

 

 

 

 

MAGIQUE!

 

*    Nous avons tous les ingrédients pour nous émerveiller:

*      999 = 1000 – 1

*      (n – 1)² = n² – 2n + 1

             = (n – 2) n + 1

 

*     Même chose pour 1001:

*      1001= 1000 + 1

*      (n + 1)² = n² + 2n + 1

             = (n + 2) n + 1

 


 

 

 

*    La méthode s'applique facilement pour les nombres proches de 10k.

 

 

*    On a compris la méthode …

Voir 999 est magique / 999 et fractions / Passage d'un nombre carré au suivant / Magie

 

 

 

Racine carrée de 9999 …

 

Présence du chiffre 9 en cascade dans la racine carrée des 9-repdigits ayant 2k chiffres.

La deuxième ligne du tableau (rouge) indique la quantité de chiffres 9 qui se répètent

 

 

Pour information

 

 

 

Mise en évidence à l'aide d'une identité remarquable d'une formule en fonction de racine de 99. L'autre nombre étant un nombre en 10101

 

 

Propriété remarquable avec le nombre de Lewis Carroll (tous les chiffres sauf le 8).

 

 

Voir Racines carrées et leurs décimales

 

 

Racine carrée des nombre en 992k avec 100 chiffres

(Notation anglaise avec le point décimal au lieu de la virgule, le 9-repdigit concerné est indiqué en bout de ligne)

 

 

 

 

 

Suite

*    Nombres retournés et 99…

*    Division des repunits

*    Divisibilité des nombres en 99

*    Divisibilité des nombres permutés

*    Nombres de Kaprekar

*   Nombres périodiques et repdigits en 9

*    Somme et produit des nombres en 99…

Voir

*    Fraction en 1/9

*    Opérations avec 9

*    Période maximale coupée en deux

Diconombre

*    Nombre 9

*    Nombre 99

*    Nombre 999

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