NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Premières valeurs

>>> Conjecture de Dickson

 

 

 

Nombres ÉCONOMES,

ÉQUIDIGITAUX et PRODIGUES  

 

Classement selon la quantité de chiffres pour écrire le nombre et ses facteurs premiers.

 

 

 

 

Approche

 

On compte le nombre de chiffres pour écrire les facteurs et on compare au nombre de chiffres du nombre lui-même.

Nombres récemment introduit par Bernardo Recamàn Santos.

 

Économe

Équidigital

Prodigue

125 = 53

10 = 2 x 5

4 = 2²

1024 = 210

49 = 7²

26 = 2 x 13

Moins de chiffres

Même nombre de chiffres

Plus de chiffres

 

À rapprocher des nombre simples au sens de Kolmogorov, définis en considérant le moyen de codage le plus économique qui représente un nombre.

 

 

 

 

Premières valeurs

 

 

10 est le premier véritable équidigital (en excluant les nombres premiers).

13, 14, 15, 16 et 17: première chaîne de 5 premiers nombres économes successifs.

Il n'existe pas de nombres économes inférieurs à 100.

De 157 à 163, on trouve 7 entiers économes successifs (R. Pinch)

 



 

 

 

CONJECTURE DE DICKSON

 

*    Énoncée en 1904, non démontrée.


 

Pour toute suite ai et bi (i = 1,...,k d'entiers), il existe une infinité de valeurs de n telles que tous les nombres (a1n + b1), (a2n + b2), ..., (akn + bk) soient simultanément des nombres premiers, sauf s'il existe un entier d qui, pour tout n, divise le produit (a1n + b1)(a2n + b2)...(akn + bk).

 

 

Pour k égal à 1, la conjecture indique que, si les nombres a1n + b1 ne sont pas tous multiples d'un même nombre d quand n varie, alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme a1n + b1

 

 

*    Démontrée cette conjecture, permettrait de dire que:

*          les nombres premiers jumeaux sont en nombre infini;

*          les nombres composés 2n - 1, avec n premier, sont en nombre infini ;

*          etc.

 

 

*    Théorème de Dirichlet: Cas particulier de la conjecture de Dickson pour k = 1.

 

Si a et b sont premiers entre eux, alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme a.n + b

 

Exemples:  2 et 3 sont premiers entre eux

*    R.Pinch (1998)

À partir ce cette conjecture, il montre qu'il existe des suites de nombres économes consécutifs aussi longues que l'on veut de même que pour les nombres prodigues.

 

 

 

 

 

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