NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 25/02/2010

-Ý- Rubrique: Nombres ÉCONOMES, ÉQUIDIGITAUX et PRODIGUES
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-Ý - APPROCHE

On compte le nombre de chiffres pour écrire les facteurs

et on compare au nombre de chiffres du nombre lui-même

Économe	Équidigital	Prodigue
125 = 5^3	10 = 2 x 5	4 = 2²
1024 = 2^10	49 = 7²	26 = 2 x 13
Moins de chiffres	Même nombre de chiffres	Plus de chiffres

 Récemment introduit par Bernardo Recamàn Santos

Rappel & Analogie

Nombre simple au sens de Kolmogorov,

définit en considérant le moyen de codage le plus économique qui représente un nombre

-Ý - PREMIÈRES VALEURS

N	Facteurs	Premier	Économe	Équidigital	Prodigue
2	2	P
3	3	P
4	2²				*
5	5	P
6	2 x 3				*
7	7	P
8	2^3				*
9	3²				*
10	2 x 5			*
11	11	P
12	2² x 3				*
13	13	P
14	2 x 7			*
15	3 x 5			*
16	2^4			*
17	17	P
18	2 x 3²				*
19	19	P
20	2² x 5				*
21	3 x 7			*
22	2 x 11				*
23	23	P
24	2^3 x 3				*
25	5²			*
26	2 x 13				*
27	3^3			*
28	2² x 7				*
29	29	P
30	2 x 3 x 5				*
31	31	P
32	2^5			*
33	3 x 11				*
34	2 x 17				*
35	5 x 7			*
36	2² x 3²				*
37	37	P
38	2 x 19				*
39	3 x 13				*
40	2^3 x 5				*
41	41	P
42	2 x 3 x 7				*
43	43	P
44	2² x 11				*
45	3² x 5				*
46	2 x 23				*
47	47	P
48	2^4 x 3				*
49	7²			*
50	2 x 5²				*
Total		15	0	10	24

§ 10 est le premier véritable équidigital (en excluant les nombres premiers)

§ 13, 14, 15, 16 et 17 : première chaîne de 5 premiers nombres économes successifs

§ De 157 à 163, on trouve 7 entiers économes successifs (R. Pinch)

§ Il n'existe pas de nombres économes inférieur à 100

Les premiers économes

N	Facteurs	Économe
125	5^3	*
128	2^7	*
243	3^5	*
256	2^8	*

10 000	2^4 x 5^4	*
10 082	2 x 71²	*
10 125	3^4 x 5^3	*
10 240	2^11 x 5	*
10 368	2^7 x 3^4	*
10 375	5^3 x 83	*

-Ý - CONJECTURE DE DICKSON

Conjecture de Dickson

Énoncée en 1904, non démontrée

Pour toute suite a_i et b_i (i = 1,...,k d'entiers),

il existe une infinité de valeurs de n telles que tous les nombres

(a₁n + b₁, (a₂n + b₂, ...,(a_kn + b_k

soient simultanément des nombres premiers,

sauf s'il existe un entier d qui, pour tout n,

divise le produit (a₁n + b₁(a₂n + b₂...(a_kn + b_k.

Pour k égal à 1,

la conjecture indique que,

si les nombres a₁n + b₁

ne sont pas tous multiples d'un même nombre d quand n varie,

alors il existe une infinité de nombres premiers

de la forme a₁n + b₁

Démontrée cette conjecture, permettrait de dire que:

• les nombres premiers jumeaux sont en nombre infini
• les nombres composés 2ⁿ - 1, avec n premier, sont en nombre infini
• etc.

Théorème de Dirichlet

Il est un cas particulier de la conjecture de Dickson

Si a et b sont premiers entre eux,

alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme a.n + b

Exemples

2 et 3 sont premiers entre eux

a.n	b	a.n + b	Premier
2 x 1	3	5	P
2 x 2	3	7	P
2 x 3	3	9	non
2 x 4	3	11	P
2 x 5	3	13	P
etc.			infinité

R.Pinch (1998)

À partir ce cette conjecture

montre qu'il existe des suites de nombres économes consécutifs aussi longues que l'on veut

de même que pour les nombres prodigues

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