NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 06/07/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Sommaire de cette page >>> Type de motif >>> Analyse pour deux chiffres >>> Généralisation à plusieurs chiffres et autres puissances >>> Puissances des facteurs

Somme des puissances des chiffres

de nombres à deux chiffres et +

Analyse des possibilités.

Généralisation à d'autres puissances et à d'autres quantités de chiffres.

Cousins des nombres narcissiques.

Nombres égaux à une somme de puissance de ses chiffres

(Handsome numbers – Nombre élégants)

Exemple: 43 = 4² + 3³ le nombre 254 = 2⁷ + 5³ + 4⁰ n'est pas retenu (cf. 0)
333 = 3² + 3⁴ + 3⁵

Liste (OEIS A007532)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 24, 43, 63, 89, 132, 135, 153, 175, 209, 224, 226, 262, 264, 267, 283, 332, 333, 334, 357, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 407, 445, 463, 518, 598, 629, 739, 794, 849, 935, 994, 1034, …

Voir Nombres narcissiques / Nombres de Keith (table)

Sommes de puissances consécutives à partir de 1

89 =	8^1 + 9^2	Ils sont seulement dix à partager cette propriété, hors les nombres de 0 à 9 (trivial). Voir Autre table OEIS A032799
135 =	1^1 + 3^2 + 5^3
175 =	1^1 + 7^2 + 5^3
518 =	5^1 + 1^2 + 8^3
598 =	5^1 + 9^2 + 8^3
1 306 =	1^1 + 3^2 + 0^3 + 6^4
1 676 =	1^1 + 6^2 + 7^3 + 6^4
2 427 =	2^1 + 4^2 + 2^3 + 7^4
2 646 798 =	2^1 + 6^2 + 4^3 + 6^4 + 7^5 + 9^6 + 8^7
12 157 692 622 039 623 539 =	1^1 + 2^2 + 1^3 + 5^4 + 7^5 + 6^6 + 9^7 + 2^8 + 6^9 + 2^10 + 2^11 + 0^12 + 3^13 + 9^14 + 6^15 + 2^16 + 3^17 + 5^18 + 3^19 + 9^20

Sommes de puissances consécutives en prenant les chiffres par ordre croissant

89 =	8^1 + 9^2
135 =	1^1 + 3^2 + 5^3
2 537 =	2^1 + 3^2 + 5^3 + 7^4
60 409 =	0^1 + 0^2 + 4^3 + 6^4 + 9^5
4 901 732 =	0^1 + 1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^5 + 7^6
17 735 872 =	1^1 + 2^2 + 3^3 + 5^4 + 7^5 + 7^6 + 8^7
45 279 768 =	2^1 + 4^2 + 5^3 + 6^4 + 7^5 + 7^6 + 8^7 + 9^8
393 470 463 =	0^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 4^5 + 4^6 + 6^7 + 7^8 + 9^9
3 623 008 669 =	Ils sont seulement dix-huit à partager cette propriété, hors les nombres de 1 à 9 (trivial). OEIS A208130
3 893 095 238 =
229 386 834 955 666 =
1 892 713 761 283 624 =
1 501 212 693 940 707 502 =
1 517 944 702 855 898 904 =
12 303 679 765 763 687 463 =
122 947 811 178 635 339 597 =
1 095 354 314 191 826 124 704 =
1 106 509 957 063 490 820 877 =

Voir Pépites / Brève 641

Type de motif
Motifs de la forme 89 = 8^1 + 9^2 Nombre égal à la somme des puissances successives de ses chiffres N = a^1 + b^2 direct ou N = b^1 + a^2 inverse

Voir aussi Produit / Nombre 135

Analyse pour deux chiffres

La droite en vert montre la valeur de N en fonction de N.

La courbe bleue donne la somme des puissances inverse: b² + a

Elle croît assez régulièrement.

Au rythme du carré du chiffre des dizaines.

L'addition du chiffre des unités ne pèse pas lourd.

Elle est toujours en dessous de la courbe verte.

La courbe en rouge donne la somme des puissances directe: b + a²

Elle fluctue énormément.

Au rythme du carré du chiffre des unités.

Le pavé rouge sur la courbe donne la valeur de la somme.

Elle coupe souvent la courbe verte.

Mais, la seule valeur commune est 89.

89 = 8¹ + 9²

En montant en puissance, on trouve aussi:

24 = 2³ + 4²

43 = 4² + 3³

63 = 6² + 3³

Et pas d'autres à deux chiffres.

Généralisation à plusieurs chiffres et aux autres puissances

Deux chiffres et autres puissances Aucunes autres solutions que celles montrées ci-dessus. Trois chiffres De très nombreuses solutions (66): Motif double pour: 264, 372*, 373, 375, 794*, 935 (* avec puissance 0) Triple pour: 739* Quatre chiffres Encore plus de solution, bien évidemment (441): 1 034 = 1^1 + 0^1 + 3^2 + 4^5 La plus petite. 9 963 = 9^3 + 9^3 + 6^5 + 3^6 La plus grande. 2 225 = 2^6 + 2^9 + 2^10 + 5^4 La plus petite sans puissance 1. 2 356 = 2^3 + 3^7 + 5^3 + 6^2 = 2^7 + 3^7 + 5^1 + 6^2 La plus petite double. 3 454 = 3^2 + 4^3 + 5^5 + 4^4 = 3^2 + 4^4 + 5^5 + 4^3 Double avec puissances de 2 à 5. Les 5 motifs avec puissances croissantes ou décroissantes: 1 306 = 1^1 + 3^2 + 0^3 + 6^4Puissances successives à partir de 1. 1 676 = 1^1 + 6^2 + 7^3 + 6^4Les 3 uniques configurations. 2 427 = 2^1 + 4^2 + 2^3 + 7^4 6 714 = 6^3 + 7^4 + 1^5 + 4^6 Puissances successives. 1 676 = 1^5 + 6^4 + 7^3 + 6^2 Puissances dégressives. Les 5 motifs avec puissances égales (nombres narcissiques): 1 634 = 1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4 8 208 = 8^4 + 2^4 + 0^4 + 8^4 f 9 474 = 9^4 + 4^4 + 7^4 + 4^4 4 150 = 4^5 + 1^5 + 5^5 + 0^5 4 151 = 4^5 + 1^5 + 5^5 + 1^5 À noter, avec puissances successives à partir de 1 2 646 798 = 2^1 + 6^2 + 4^3 + 6^4 + 7^5 + 9^6 + 8^7

Puissances des facteurs – Somme				haut
Nombres non-cubes qui peuvent se mettre sous la forme de la somme des cubes de leurs facteurs. Il existe au moins huit possibilités.
378	= 2 × 3^3 × 7	= 2^3 + 3^3 + 7^3
2 548	= 2 × 7 × 13	= 2^3 + 7^3 + 13^3
2 836 295	= 5 × 7 × 11 × 53 × 139	= 5^3 + 7^3 + 11^3 + 53^3 + 139^3
447 3671 462	= 2 × 13 × 179 × 593 × 1621	= 2^3 + 13^3 + 179^3 + 593^3 + 1621^3
23 040 925 705	= 5 × 7 × 167 × 1453 × 2713	= 5^3 + 7^3 + 167^3 + 1453^3 + 2713^3
13 579 716 377 989	= 19 × 157 × 173 × 1103 × 23857		= …
21 467 102 506 955	= 5 × 7^3 × 313 × 1439 × 17791		= …
119 429 556 097 859	= 7 × 53 × 937 × 49199 × 6983		= …

Puissances des facteurs – Divisibilité
Nombres non-puissances premières qui sont divisibles par la somme de la puissance k de leurs facteurs. Il existe au moins six possibilités.
k = 1	n = 30 = 2 × 3 × 5	s = 2 + 3 + 5 = 10	n = 2s
2	n = 46 206 = 2 × 3² × 17 × 151	s = 2² + 3² + 17² + 151² = 23 103	n = 2s
3	n = 378 = 2 × 3^3 × 7	s = 2^3 + 3^3 + 7^3 = 378	n = s
4	n = 608 892 570 = 2 × 3² × 5 × 11² × 13 × 17 × 23	S = 2^4 + 3^4 + … 23^4 = 407 286	n = 1495 s
5	n = 292 353 065 550 = 2 × 3² × 5 × 7 × 13 × 17 × 19 × 23 × 31²	s = 2^5 + 3^5 + … 31^5 = 39 362 950	n = 7429 s
6	n = 539501733634012578 = 2 × 3^7 × 11 × 13 × 19² × 23 × 31 × 37 × 41 × 47² × 407286	s = 2^5 + 3^5 + … 31^5 = 19 184 230 593	n = 28122146 s

Source: Those facinating numbers J.-M. De Koninck

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