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BRÈVES de MATHS – Page 33

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

640. Cercles dans cercles

Énigme

Cercles tangents dans un grand cercle de rayon 2. Quelle est la taille des cercles internes, moyen et petit ? Et avec un rayon unité ?

Solution

Avec AB qui représente la moitié du diamètre du grand cercle, puis en considérant le triangle rectangle ACD:

R = RMOYEN	=	1/2 RGRAND = 1
(R + r)²	=	R² + (2R – r)² Pythagore
(1 + r)²	=	1² + (2 – r)²
r² + 2r + 1	=	r² – 4r + 4 + 1
6r	=	4
r	=	2/3 pour RG = 2
r	=	1/3 pour RG = 1

R_GRAND = 1; R = R_MOYEN = 1/2; r = R_PETIT = 1/3

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641. Narcissiques en puissances

Nombres égaux à la somme de leurs chiffres, chacun élevé à des puissances successives.

Ils sont seulement dix à partager cette propriété, hors les nombres de 0 à 9 (trivial). Le tableau présente les huit plus petits.

Avec les chiffres en désordre, ils sont dix-huit. On retrouve 89 et 135, puis 2 537 = 2¹ + 3² + 5³ + 7^4.

89 =	8^1 + 9^2
135 =	1^1 + 3^2 + 5^3
175 =	1^1 + 7^2 + 5^3
518 =	5^1 + 1^2 + 8^3
598 =	5^1 + 9^2 + 8^3
1 306 =	1^1 + 3^2 + 0^3 + 6^4
1 676 =	1^1 + 6^2 + 7^3 + 6^4
2 427 =	2^1 + 4^2 + 2^3 + 7^4

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642. Tétris et pavage
Les sept pièces du Tétris (sept quadrimos: deux doublés par symétrie et trois uniques)
Énigme Le défi consiste à positionner les pièces sur ce rectangle 4 x 7. Remarque Aire du rectangle: 4 x 7 = 28 Aire des sept pièces: 7 x 4 = 28 C'est compatible. Solution Comme pour le célèbre "échiquier tronqué", où on couvre les cases du rectangle de deux couleurs. Ici, on remarque que toutes les pièces, sauf le T, couvrent deux cases de chaque couleur. Ces six pièces posées, il reste deux cases de chaque couleur à couvrir Ce qui est impossible avec le T qui couvre trois cases d'une couleur et une de l'autre.		Rectangle en damier Avec deux pièces posées comme exemple. Son pavage avec les pièces du Tetris est impossible.
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643. Algèbre

De l'arabe: al-jabr, réunion de parties cassées.

Al-Khuwarizmi (780-850) est l'auteur du premier traité important d'algèbre: Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (l'Abrégé du calcul par l'opposition et la restauration).

L'arithmétique privilégie le raisonnement tandis que l'algèbre donne des outils de résolution systématique des problèmes.

Arithmétique avec des lettres représentant des inconnues ou des paramètres.

* Calcul littéral (avec des lettres).

* Études des relations entre des inconnues et des valeurs connues.

* Résolution des équations.

Attention à la notation de la multiplication:

Arithmétique		Ce n'est pas un x*
Algèbre		Ce n'est pas un point*

Résolution d'une équation à une inconnue

Une telle équation est une égalité comportant une inconnue notée X.

Le principe consiste à réaliser la même opération de chaque côté de l'égalité de manière à isoler l'inconnue.

Équation	2x + 1	=	7
Soustraction de 1	2x	=	6
Division par 2	x	=	3

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* Note: Unicode des symboles de la multiplication en 00D7 et 00B7. Faire insérer / symboles dans Word

644. Comparaison d'aires
Énigme Quelle est la plus grande surface: la bleue ou la marron ? Les deux grands triangles sont de mêmes dimensions. Solution Les triangles rectangles à gauche sont identiques; de même ceux de droite. Comparons les couvertures: C'est donc la zone bleue qui est la plus grande, mais de peu !		Couverture en bleu: 6 sur 9. Couverture en marron: 10 sur 16.
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645. Aires – Comparaison – Suite
Énigme Quelle est la plus grande surface: la bleue ou la blanche ? Indice Cette énigme nécessite un peu de créativité. Abandonnez les calculs complexes. Solution Voir en bas de page
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646. Aires – Comparaison – Suite
Énigme Quelle est la plus grande surface: A ou B ? La figure présente deux demi-cercles (R/2) dans un quart de cercle (R). Solution La surface B est composée d'un quart de cercle (Q) diminuée de deux fois un demi-cercle (D) , avec A qui a été retiré en trop. B = Q – 2D + A
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La figure précédente placée quatre fois dans le cercle complet

647. Énigme de la hauteur
Problème Sur cette figure, on mesure: a = 6 m, b = 12 m et h = 4 m, quelle est la longueur L ? Solution La longueur de base L peut être quelconque ! Calculs avec le théorème de Thalès bc = aL – ac		Figure Exemple Triplets entiers pour (a, b, c) [3, 6, 2], [4, 12, 3], [5, 20, 4], [6, 12, 4], [6, 30, 5], [8, 24, 6], [9, 18, 6], [10, 15, 6], [12, 24, 8], [15, 30, 10], [20, 30, 12], [21, 28, 12], …
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Pour en savoir plus	>>> Thalès et son théorème		>>> Triangle quelconque

648. Somme des nombres impairs
Curieuse égalité de fractions		Propriété La fraction constituée des n premiers impairs au numérateur et des n suivants au dénominateur est toujours égale à 1/3. Littéralement, avec la somme des impairs égale au carré:
Brèves associées	>>> Somme des nombres impairs		>>> Brèves Opérations – Index
Pour en savoir plus	>>> Somme des impairs >>> Pairs et impairs		>>> Nombre 1/3 = 0,333…

649. Nombre: quantité de lettres
Trois méthodes de dénombrement des lettres dans les noms des nombres: seulement les lettres, ou avec les traits d'union dans l'ancienne la nouvelle orthographe.
Table pour les nombres de 0 à 100 Cette table répertorie les nombres qui s'écrivent avec deux lettres (L2). Il n'y en a qu'un seul, c'est le UN. Puis les nombres qui comportent trois lettres: L3 avec SIX et DIX. Puis la suite jusqu'à L20 avec 94, 97, 98 et 99 qui nécessitent 20 lettres. En jaune, nombres qui s'écrivent de la même manière avec ou sans trait d'union.
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650. Nombre 24 et diviseurs
Le nombre 24 est le plus petit nombre somme de diviseurs trois fois. La liste des records de tels nombres, somme k fois des diviseurs de nombres commence par: Rang, Nombre, [Liste des nombres dont la somme des diviseurs est le Nombre] 1, 1, [1] 2, 12, [6, 11] 3, 24, [14, 15, 23] 4, 96, [42, 62, 69, 77] 5, 72, [30, 46, 51, 55, 71] 6, 168, [60, 78, 92, 123, 143, 167]		Nombre comme somme de diviseurs La somme des diviseurs est notée "sigma". Liste des diviseurs D(14) ) = [1, 2, 7, 14]; somme: 24. D(15) ) = [1, 3, 5, 15] ; somme: 24. D(23) ) = [1, 23] ; somme: 24. Calcul formel de la somme des diviseurs Avec 14 = 7 x 2 ; 15 = 5 x 3 et 23 = 23
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Pour en savoir plus	>>> Somme des diviseurs >>> Somme des diviseurs – Records		>>> Nombre 24 >>> Nombre 96

651. Nombres de Dudeney
Nombres égaux au cube de la somme de leurs chiffres. Hors le trivial cas du 1, ils sont cinq. Henry Dudeney (1857-1930) expert en jeux et énigmes mathématiques
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652. Puissances de 2: leurs chiffres
Si l'on examine les chiffres des puissances successives de 2, pour disposer de la totalité des dix chiffres de 0 à 9 (en rouge dans le tableau) il faut aller jusqu'à la puissance quinzième, soit 44 chiffres visités. Si l'on veut tous les chiffres dans un seul nombre, il faut atteindre la puissance 68 (21 chiffres). Sans exiger le "0", les neuf chiffres sont disponibles en puissance 51 (16 chiffres). 2^51 = 2 251 799 813 685 248 = 2, 25… 10^15 2^68 = 295 147 905 179 352 825 856 = 2,95… 10^20
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653. Énigme des œufs dans le panier
Énigme Une dame se rend au marché pour vendre ses œufs quand un passant la bouscule et les œufs sont cassés. Voulant réparer le dommage, le passant demande: combien y avait-il d'œufs ? La dame répond: je ne sais plus, mais je me souviens qu'en les divisant par 2, 3, 4, 5 ou 6, il en est toujours un. En les mettant en groupes de 7, je vide complètement mon panier. Quel la plus petite quantité d'œufs ? Anglais: Egg Basket Puzzle		Solution La clé de la solution est simple: soit N le nombre d'œufs. Ce nombre est tel que en lui retirant 1, le nouveau nombre est divisible à la fois par 2, 3, 4, 5 et 6. Le plus petit nombre divisible par 2, 3, 4 et 5 est 60. Le nombre 61 serait la solution, mais il n'est pas divisible par 7. Reste à lui trouver un multiple de 60 auquel on ajoute 1 qui soit divisible par 7. On cherche: 61, 121, 181, 241, 301: bingo ! Le nombre 301 est la plus petite solution.
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654. Nombre 3 en racines continues
Le nombre 3 peut être exprimé par une suite de racines emboitées. Le procédé se répète à l'infini: chaque nouveau nombre sous radical est la somme de 1 et un produit. L'un des termes du produit est mis au carré sous radical.
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655. Équation avec x en exposant
Résoudre: On rappelle que: log a^b = b log a
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656. Racines et radicaux
Présentation Symbole classique de la racine d'un nombre ou d'une expression algébrique. La valeur sous radical doit être positive et le résultat de cette opération est positif. Les mots "radicande" et "vinculum" sont peu usités. "Degré" ou "index" sont peu employés non plus: on dit racine énième ou racine d'ordre n.
Avec des nombres négatifs Le calcul avec des nombres négatifs sous le radical est délicat. Ici, avec un produit de nombres négatifs sous radical, impossible de calculer directement le produit qui donnerait 36 et sa racine carrée positive 6. Chaque radical doit être considéré comme un tout et transformé immédiatement selon la convention des nombres complexes (i = racine de -1). Sous cette condition, le calcul peut être finalisé et conduire à: –6 et non (+6).		Ce calcul est possible mais son résultat et –6 et non +6 ! Comme si: le signe – devenait racine de –1 et donc i, et racine de 4 devenait 2, soit 2i.
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Pour en savoir plus	>>> Radical et nombres complexes >>> Paradoxe de 1 = –1 résolu		>>> Racine d'un nombre >>> Nombre complexe

657. Problème du sac à dos

Énigme en guise d'approche de ce problème

Utilisez les additions avec les nombres proposés pour atteindre un nombre imposé.

Les nombres proposés sont uniques et ils sont utilisés une seule fois.

On impose parfois un nombre maximum de termes dans l'addition.

Commentaires

L'exemple proposé conduit à sept solutions ou, une seule en imposant un maximum de trois termes.

Problème

E = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}

Faire N = 20

Solutions

20 = 5 + 7 + 8

20 = 1 + 4 + 7 + 8

20= 1 + 5 + 6 + 8

20 = 2 + 4 + 6 + 8

20 = 2 + 5 + 6 + 7

20 = 1 + 2 + 4 + 5 + 8

20 = 1 + 2 + 4 + 6 + 7

Le problème du sa à dos

Étant donné plusieurs objets possédant chacun un poids et une valeur et étant donné un poids maximum pour le sac, quels objets faut-il mettre dans le sac de manière à maximiser la valeur totale sans dépasser le poids maximal autorisé pour le sac ?

Applications notamment en optimisation de processus industriels. Les méthodes employées font appel à la programmation dynamique: traitement des graphes, arbres et réseaux.

Données

Objets	1	2	3	4
Valeur	2	4	4	5
Poids	10	14	7	3

Poids maximum autorisé 20 kg

Solution

Objets {1, 3, 4} => valeur 11 et poids 20.

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658. Les deux crayons
Énigme Deux crayons côte à côte. Chaque pointe fait un angle de 30°. Quel est la valeur A de l'angle formé par les deux crayons ? Solution Les triangles de pointe sont isocèles et leurs angles à la base valent: (180 – 30) / 2 = 75°. Le tour complet au point de jonction vaut: 2 x 75 + 2 x 90 + A = 360 A = 360 – 150 – 180 = 30°
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659. Nombre 109 et Fibonacci
1 / 109 = 0,009 174 311 926 605 504 587 155 963 302 752 293 577 981 651 376 146 788 990 825 688 073 394 495 412 844 036 697 247 706 422 018 348 623 853 211 009 174 … 2 / 109 = 0,018 348 623 853 211 009 174 311 926 605 504 587 155 963 302 752 293 577 981 651 376 146 788 990 825 688 073 394 495 412 844 036 697 247 706 422 018 348 …		La période de cette fraction est maximale (109 – 1 = 108 chiffres). Ces chiffres se répètent sans fin. Ce sont les mêmes mais permutés pour toutes les fractions avec le dénominateur 109. Étonnant ! Les décimales, de droite à gauche, sont le résultat de la sommation des nombres de Fibonacci successifs en tenant compte de la position des chiffres et des retenues. On a: 1, 1, 2, 3, 5, 8 … les chiffres suivants sont calculés en additionnant les chiffres de même rang. Ainsi, après 8, on trouve le nombre 13 qui contribue pour 3, et le 1 est reporté sur la somme suivante.
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Solution de l'énigme

Comme souvent en géométrie, un complément sur la figure donne la solution. En traçant la diagonale rouge, la solution saute aux yeux. La demi-lunule bleue (a) remplace exactement la demi-lunule blanche (b). L'aire de la surface en bleu est exactement la même que celle d'un demi-carré. La surface bleue et la surface blanche ont exactement la même aire, égale à un demi-carré. Retour

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