NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/09/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Sommaire de cette page >>> Cas des chiffres en puissance d'un nombre k >>> Suites des nombres sommes de puissances de n >>> SOMMES des puissances successives >>> PRODUITS des puissances successives >>> SOMMES du même chiffre >>> Même chiffre & même puissance

Puissances successives

Exposant en ordre croissant ou décroissant

Exemples

518	= 5^1 + 1^2 + 8^3	>>>
2 646 798	= 2^1 + 6^2 + 4^3 + 6^4 + 7^5 + 9^6 + 8^7	>>>
1 715	= 1^4 x 7^3 x 1^2 x 5^1	>>>
66 430	= 9^0 + 9^1 + 9^2 + 9^3 + 9^4 + 9^5	>>>
3 435	= 3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5	>>>

Voir Pépites numériques / Tous les types de nombres cousins avec ceux-ci

Sommes des puissances des nombres de 1 à n: formules et valeurs

Cas des chiffres en puissance d'un nombre k

12 = 3^1 + 3^2 1 033 = 8^1+ 8^0 + 8^3+ 8^3 4 624 = 4^6 + 4^6 + 4^2 + 4^4 595 968 = 4^5+4^9+4^5+4^9+4^6+4^8 3 909 511 = 5^3+5^9+5^0+5^9+5^5+5^1+5^1 13 177 388 = 7^1+7^3+7^1+7^7+7^7+7^3+7^8+7^8 52 135 640 = 19^5+19^2+19^1+19^3+19^5+19^6+19^4+19^0

Programme Maple

Voir Programmation – Index

Suites des nombres sommes de puissances de n
n = 1 3 = 1^1+ 1^2 + 1^3	Somme des puissances successives de n = 1 à partir de 1. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …
n = 2 14 = 2^1+ 2^2 + 2^3	0, 2, 6, 14, 30, 62, 126, 254, 510, 1022, 2046, 4094, 8190, 16382, 32766, 65534, 131070, 262142, 524286, 1048574, 2097150, …
n = 3 12 = 3^1+ 3^2	0, 3, 12, 39, 120, 363, 1092, 3279, 9840, 29523, 88572, 265719, 797160, 2391483, 7174452, 21523359, 64570080, 193710243, 581130732, 1743392199, 5230176600, …
n = 4 20 = 4^1+ 4^2	0, 4, 20, 84, 340, 1364, 5460, 21844, 87380, 349524, 1398100, 5592404, 22369620, 89478484, 357913940, 1431655764, 5726623060, 22906492244, 91625968980, 366503875924, 1466015503700, …
n = 5 30 = 5^1+ 5^2	0, 5, 30, 155, 780, 3905, 19530, 97655, 488280, 2441405, 12207030, 61035155, 305175780, 1525878905, 7629394530, 38146972655, 190734863280, 953674316405, 4768371582030, 23841857910155, 119209289550780, …
n = 6 42 = 6^1+ 6^2	0, 6, 42, 258, 1554, 9330, 55986, 335922, 2015538, 12093234, 72559410, 435356466, 2612138802, 15672832818, 94036996914, 564221981490, 3385331888946, 20311991333682, 121871948002098, 731231688012594, 4387390128075570, …
n = 7 56 = 7^1+ 7^2	0, 7, 56, 399, 2800, 19607, 137256, 960799, 6725600, 47079207, 329554456, 2306881199, 16148168400, 113037178807, 791260251656, 5538821761599, 38771752331200, 271402266318407, 1899815864228856, 13298711049601999, 93090977347214000
n = 8 72 = 8^1+ 8^2	0, 8, 72, 584, 4680, 37448, 299592, 2396744, 19173960, 153391688, 1227133512, 9817068104, 78536544840, 628292358728, 5026338869832, 40210710958664, 321685687669320, 2573485501354568, 20587884010836552, 164703072086692424, 1317624576693539400, …
n = 9 90 = 9^1+ 9^2	0, 9, 90, 819, 7380, 66429, 597870, 5380839, 48427560, 435848049, 3922632450, 35303692059, 317733228540, 2859599056869, 25736391511830, 231627523606479, 2084647712458320, 18761829412124889, 168856464709124010, 1519708182382116099, 13677373641439044900, …
n = 10 110 = 10^1+ 10^2	0, 10, 110, 1110, 11110, 111110, 1111110, 11111110, 111111110, 1111111110, 11111111110, 111111111110, 1111111111110, 11111111111110, 111111111111110, 1111111111111110, 11111111111111110, 111111111111111110, 1111111111111111110, 11111111111111111110, 111111111111111111110, …
n = 11 132 = 11^1+ 11^2	0, 11, 132, 1463, 16104, 177155, 1948716, 21435887, 235794768, 2593742459, 28531167060, 313842837671, 3452271214392, 37974983358323, 417724816941564, 4594972986357215, 50544702849929376, 555991731349223147, 6115909044841454628, 67274999493256000919, 740024994425816010120, …
n = 12 156 = 12^1+ 12^2	0, 12, 156, 1884, 22620, 271452, 3257436, 39089244, 469070940, 5628851292, 67546215516, 810554586204, 9726655034460, 116719860413532, 1400638324962396, 16807659899548764, 201691918794585180, 2420303025535022172, 29043636306420266076, 348523635677043192924, 4182283628124518315100, …
n jusqu'à la puissance k	Il s'agit d'une progression géométrique de raison n à partir de n^1 = n. On retire n^0 = 1 pour obtenir les suites ci-dessus.

Voir Détails / Autres sommes de puissances

SOMMES des puissances successives

– Tous les cas possibles

Définition

Nombre égal à la somme des puissances successives de ses chiffres

N = a¹ + b² + c³ + ... direct

ou

N = … + c^n-2 + b^n-1 + aⁿ inverse

Analyse de comportement pour deux chiffres >>>

Exemples de lecture: 63 = 6² + 3³

2 646 798 = 2¹ + 6² + 4³ + 6⁴ + 7⁵ + 9⁶ + 8⁷

Puissances	1	2	3	4	5	6	7	8	9
N = 24		4	2
43		4	3
63		6	3
89	8	9
135	1	3	5
175	1	7	5
332			2	3	3
518	5	1	8
598	5	9	8
1 306	1	3	0	6
1 676	1	6	7	6
1 676		6	7	6	1
2 427	2	4	2	7
6 714			6	7	1	4
47 016		4	7	0	1	6
63 760			6	3	7	6	0
63 761			6	3	7	6	1
542 186		5	4	2	1	8	6
2 646 798	2	6	4	6	7	9	8
4 975 929		9	2	9	5	7	9	4
12 157 692 622 039 623 539

En gris, nombre pour lesquels l'ordre des chiffres est inversé.

Cas raté à un près

263 249

2

6

3

2

4

8

263 249= 2¹ + 6² + 3³ + 2⁴ + 4⁵ + 8⁶

Voir Autre table

Liste des nombres en a^1 + b^2 + c^3 + … 89, 135, 175, 518, 598, 1 306, 1 676, 2 427, 2 646 798, 12157692622039623539 La liste finie avec des nombres de moins de 22 chiffres. Voir Brève 512
Programme	Commentaires Ouverture de la liste (L) des nombres recherchés. Lancement de la boucle d'analyse des nombres n. Conversion plaçant les chiffres de n dans L, dans l'ordre inverse. Quantité de chiffre en q. Addition des chiffres (S) avec des puissances successives. Si cette somme vaut n, alors n est enregistré dans la liste L. Fin de boucle et impression de la liste. En bleu, résultat du traitement.

Voir Programmation – Index

PRODUITS des puissances successives – Tous les cas possibles
Définition Nombre égal au produit des puissances successives de ses chiffres N = a^1 . b^2 . c^3 ... direct ou N = … c^n-2 . b^n-1 . a^n inverse Seul possibilité: 1715 = 1^4 x 7^3 x 1^2 + 5^1

SOMMES du même chiffre

Définition

Nombre égal à la somme des puissances successives d'un même chiffre:

N = a⁰ + a¹ + a²

Voir Tables complètes >>>

Deux chiffres

2 3 4 5	= 1^0 + 1^1 = 2^0 + 2^1 = 3^0 + 3^1 = 4^0 + 4^1	2 6 12 20	= 1^1 + 1^2 = 2^1 + 2^2 = 3^1 + 3^2 = 4^1 + 4^2
6 7 8 9 10	= 5^0 + 5^1 = 6^0 + 6^1 = 7^0 + 7^1 = 8^0 + 8^1 = 9^0 + 9^1	30 42 56 72 90	= 5^1 + 5^2 = 6^1 + 6^2 = 7^1 + 7^2 = 8^1 + 8^2 = 9^1 + 9^2

Trois chiffres

3 7 13 21	= 1^0 + 1^1 + 1^2 = 2^0 + 2^1 + 2^2 = 3^0 + 3^1 + 3^2 = 4^0 + 4^1 + 4^2	3 14 39 84	= 1^1 + 1^2 + 1^3 = 2^1 + 2^2 + 2^3 = 3^1 + 3^2 + 3^3 = 4^1 + 4^2 + 4^3
31 43 57 73 91	= 5^0 + 5^1 + 5^2 = 6^0 + 6^1 + 6^2 = 7^0 + 7^1 + 7^2 = 8^0 + 8^1 + 8^2 = 9^0 + 9^1 + 9^2	155 258 399 584 819	= 5^1 + 5^2 + 5^3 = 6^1 + 6^2 + 6^3 = 7^1 + 7^2 + 7^3 = 8^1 + 8^2 + 8^3 = 9^1 + 9^2 + 9^3

Note: la puissance zéro donnant 1, le tableau de droite est

le même que celui en bas à gauche à un près

Quatre chiffres

4 15 40 85	= 1^0 + 1^1 + 1^2 + 1^3 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 2^4 - 1 = 3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 = 4^0 + 4^1 + 4^2 + 4^3
156 259 400 585 820	= 5^0 + 5^1 + 5^2 + 5^3 = 6^0 + 6^1 + 6^2 + 6^3 = 7^0 + 7^1 + 7^2 + 7^3 = 8^0 + 8^1 + 8^2 + 8^3 = 9^0 + 9^1 + 9^2 + 9^3

Note: L'égalité pour la puissance deux est une propriété générale

Cinq chiffres

5 31 121 341	= 1^0 + 1^1 + 1^2 + 1^3 + 1^4 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 = 4^0 + 4^1 + 4^2 + 4^3 + 4^4
781 1 555 2 801 4 681 7 381	= 5^0 + 5^1 + 5^2 + 5^3 + 5^4 = 6^0 + 6^1 + 6^2 + 6^3 + 6^4 = 7^0 + 7^1 + 7^2 + 7^3 + 7^4 = 8^0 + 8^1 + 8^2 + 8^3 + 8^4 = 9^0 + 9^1 + 9^2 + 9^3 + 9^4

Six chiffres

6 63 364 1 365	= 1^0 + 1^1 + 1^2 + 1^3 + 1^4 + 1^5 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 = 4^0 + 4^1 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5
3 906 9 331 19 608 37 449 66 430	= 5^0 + 5^1 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + 5^5 = 6^0 + 6^1 + 6^2 + 6^3 + 6^4 + 6^5 = 7^0 + 7^1 + 7^2 + 7^3 + 7^4 + 7^5 = 8^0 + 8^1 + 8^2 + 8^3 + 8^4 + 8^5 = 9^0 + 9^1 + 9^2 + 9^3 + 9^4 + 9^5

MÊME CHIFFRE & MÊME PUISSANCE

Principe

Nombre égal à la somme des puissances successives du même nombre (nombre hypertriangulaire) N = 0^0 + 1^1 + 2^2 = 6

Nombre égal au produit des puissances successives du même nombre N = 0^0 x 1^1 x 2^2 = 4

Tables

1 2 6	= 0^0 + 1^1 + 2^2	1 1 4	= 0^0 x 1^1 x 2^2
33 289 3 414	+ 3^3 + 4^4 + 5^5	108 27 648 86 400 000	x 3^3 x 4^4 x 5^5
50 070 873 613 17 650 829 405 071 318	+ 6^6 + 7^7 + 8^8 + 9^9	4 031 078 400 000	x 6^6
10 405 071 318 295 716 741 929 9 211 817 190 185	+ 10^10 + 11^11 + 12^12

Suite	Somme des puissances des chiffres de nombres à deux chiffres Somme avec puissances croissantes Nombres hypertriangulaires Table des nombres hypertriangulaires: 1^1 + 2^2 + 3^3 + … Nombres narcissiques
Voir	Carrés Consécutif – Index Nombre pyramide Puissances - Index Sommes des puissances des nombres de 1 à n: formules et valeurs Somme de puissances successives d'un même nombre Somme des entiers, carrés …
DicoNombre	Nombre 89
Site	OEIS A105281 – a(0)=0; a(n)=6*a(n-1)+6 OEIS A032799 – Numbers n such that n equals the sum of its digits raised to the consecutive powers (1,2,3,...).
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/ConsPuis.htm