NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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REPDIGIT

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Motif

 

Repdigits

Repunits

Presque repdigit

999 …

Division des Repunits

Division de 999 …

 

Sommaire de cette page

>>> Formation des nombres périodiques

>>> Recherche de fractions remarquables

>>> Nombres en 999…

>>> Exploration

>>> Bilan

 

 

 

DIVISION de 999 …

& nombres périodiques

 

Recherche de nombre périodiques remarquables

  

 

 

Formation des nombres périodiques

 

0,123 123 …

Nombre périodique de période 3

 

Nombre

N

=     0,123 123…

Multiplication par 1000

1000 N

= 123,123 123

Soustraction

999 N

= 123

Valeur de N en fraction

N

= 123 / 999

 

Voir Nombres périodiques

 

Pour former la fraction représentant le nombre périodique 0,abc de période k, il suffit de prendre la partie périodique au numérateur et de placer au dénominateur le nombre 99…9 ayant k fois le chiffre 9.

 

Exemples

 

 

 

 

 

Divisibilité des nombres en 99…9

 

 

Tout nombre n,  non divisible par 2 ou 5, divise un repdigit en 9 (R9) de q chiffres.

 

Le tableau montre cet effet pour les nombres de 2 à 15.

*       les nombres divisibles par 2 ou par 5 ne sont pas diviseurs d'un nombre en 9.

*       tous les nombres premiers le sont. La colonne Rep9 identifie le nombre avec sa quantité de 9 (L) et la division donne P, la période du nombre périodique 1/n.

*       Parmi eux, ici, seul 9 est un nombre composé qui divise 9 (trivial). Les suivants sont 21, 27, 33, 39 et 49 pour n jusqu'à 50.

 

 

Voir suite en  Longueur de la période d'un nombre périodique

 

 

 

 

 

 

 

Recherche de fractions remarquables

 

L'idée est de chercher des fractions particulières qui se simplifient, de sorte que le dénominateur en 9 s'efface. Il est alors difficile de suspecter que l'origine est une fraction aussi simple que celle en 999…

 

Les nombres périodiques étudiés ici sont ceux présentant des chiffres tous différents dans leur périodes.

 

Exemples

 

 

 

 

Voir Nombre 142 857

 

 

 

 

Nombres en 999…

 

Plus la quantité de diviseurs des nombre en 999… est grande et  plus la possibilité de simplifier une fraction en N/999… est grande. Voici la quantité de diviseurs et les facteurs de ces nombres jusqu'à 99…921.

 

 

 

 

 

Exploration des fractions en N/99…9k chiffres

1 chiffre

1 / 9 = 0, 1111 …

 

2 chiffres

Les 3 seules pour N avec chiffres croissants qui se suivent.

 

Numérateur,

      Dénominateur,

              Fraction simplifiée,

                           Développement décimal

 

12, 99,   4/33,    0, 1212121212

45, 99,   5/11,    0, 4545454545

78, 99, 26/33,    0, 7878787879

 

3 chiffres

Les 7 pour N avec chiffres croissants qui se suivent.

 

123, 999,   41/333,    0, 1231231231

234, 999,   26/111,    0, 2342342342

345, 999, 115/333,    0, 3453453453

456, 999, 152/333,    0, 4564564565

567, 999,   21/37,      0, 5675675676

678, 999, 226/333,    0, 6786786787

789, 999, 263/333,    0, 7897897898

 

4 chiffres

Les 2 pour N avec chiffres croissants qui se suivent.

 

Et 4 doublets à signaler (N avec chiffres différents en 3, 4, 5 et 6).

 

3456, 9999,   384/1111,     0, 3456345635

6789, 9999, 2263/3333,     0, 6789678968

 

3465, 9999, 35/101,     0, 3465346535

3564, 9999, 36/101,     0, 3564356436

4356, 9999, 44/101,     0, 4356435644

4653, 9999, 47/101,     0, 4653465347

5346, 9999, 54/101,     0, 5346534653

5643, 9999, 57/101,     0, 5643564356

6435, 9999, 65/101,     0, 6435643564

6534, 9999, 66/101,     0, 6534653465

 

 

5 chiffres

Les 2 pour N avec chiffres croissants qui se suivent.

 

Les 8 avec D le plus petit (2 chiffres) – N avec chiffes différents; tous comportent un 0.

 

 

 

Les suivantes (nombreuses) sont en D = 123 puis D = 271.

 

12345, 99999,   4115/33333,     0, 1234512345

45678, 99999, 15226/33333,     0, 4567845678

 

 

24390, 99999, 10/41,     0, 2439024390

39024, 99999, 16/41,     0, 3902439024

43902, 99999, 18/41,     0, 4390243902

56097, 99999, 23/41,     0, 5609756098

60975, 99999, 25/41,     0, 6097560976

75609, 99999, 31/41,     0, 7560975610

90243, 99999, 37/41,     0, 9024390244

97560, 99999, 40/41,     0, 9756097561

 

 

30894, 99999, 38/123,     0, 3089430894

12546, 99999, 34/271,     0, 1254612546

 

6 chiffres

Les 4 pour N avec chiffres croissants qui se suivent.

 

 

 

 

Autres exemples pour D petit; N avec chiffres toujours différents.

 

 

 

 

123456, 999999,   41152/333333,     0, 1234561235

234567, 999999,   26063/111111,     0, 2345672346

345678, 999999, 115226/333333,     0, 3456783457

456789, 999999, 152263/333333,     0, 4567894568

 

 

142857, 999999,     1/7,     0, 1428571429    >>>

153846, 999999,   2/13,     0, 1538461538

190476, 999999,   4/21,     0, 1904761905

102564, 999999,   4/39,     0, 1025641026

126984, 999999,   8/63,     0, 1269841270

103896, 999999,   8/77,     0, 1038961039

120879, 999999, 11/91,     0, 1208791209

 

 

 

7 chiffres

L'unique pour N avec chiffres croissants qui se suivent.

 

Les 13 en D = 717; N avec chiffres toujours différents.

 

 

 

 

 

3456789, 9999999, 1152263/3333333,     0, 3456789346

 

 

1324965, 9999999,  95/717,     0, 1324965132

2496513, 9999999, 179/717,     0, 2496513250

3249651, 9999999, 233/717,     0, 3249651325

3486750, 9999999, 250/717,     0, 3486750349

4867503, 9999999, 349/717,     0, 4867503487

4965132, 9999999, 356/717,     0, 4965132497

5034867, 9999999, 361/717,     0, 5034867503

5132496, 9999999, 368/717,     0, 5132496513

6513249, 9999999, 467/717,     0, 6513249651

6750348, 9999999, 484/717,     0, 6750348675

7503486, 9999999, 538/717,     0, 7503486750

8675034, 9999999, 622/717,     0, 8675034868

9651324, 9999999, 692/717,     0, 9651324965

 

8 chiffres

Aucune avec les chiffres qui se suivent.

La plus petite avec chiffres différents

15068493, 99999999, 11/73,     0, 1506849315

 

9 chiffres

Aucune avec les chiffres qui se suivent.

 

La plus petite avec chiffres différents, proche de la configuration recherchée avec des chiffres qui se suivent.

 

123456790, 999999999, 10/81,     0, 1234567901

 

 

 

BILAN – Nombres en N/999…

 

*      Le but était de trouver de telles fractions plus simples que les originales; des fractions qui se simplifient.

 

N avec chiffres croissants qui se suivent

 

*      Il existe de nombreuses configurations. Elles se raréfient plus la demande de chiffres est grande (normal). Les simplifications ne sont cependant pas spectaculaires:

 

Avec 7 chiffres: 3456789 / 9999999 = 1152263 / 3333333 = 0, 3456789 346 ...

Avec 3 chiffres:          567 / 999          =             21/37             =  0, 567 567

 

*      Avec 9 chiffres, on frôle le jackpot:

 

123456790 / 999999999 = 10 / 81 =  0, 1234567901

 

 

N avec des chiffres simplement différents

 

*      La configuration reine est bien entendu:

 

Avec 6 chiffres: 142857 / 999999 = 1 / 7 =  0, 1428571429

 

 

 

 

 

 

 

Retour

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Suite

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Voir

*    Fermat

*    Fractions

*    Multiplication

*    Nombres à motifs

*    Nombres magiques

*    Nombres répétés

*    Repunit

Diconombre

*    Nombre 0,123456…

*    Nombre 0,147852 …

*    Nombre 0,3456789…

*    Nombre 0,567…

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