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DIVISION
de 999 … &
nombres périodiques Recherche
de nombre périodiques remarquables |
Table des
facteurs des 9-repdigits
Liste des facteurs des
9-repdits jusqu'à 21 chiffres
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3, 7, 11, 13, 17, 19, 31,
37, 41, 43, 53, 73, 79, 101, 137, 239, 271, 1933, 3541, 4649, 9091, 9901,
21649, 27961, 52579, 333667, 513239, 909091, 2071723, 2906161, 5882353,
10838689, 265371653, 5363222357, 1111111111111111111. |
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0,123 123 … Nombre périodique de période 3
Voir Nombres
périodiques Pour former la fraction représentant le nombre
périodique 0,abc… de période k, il suffit de prendre la partie
périodique au numérateur et de placer au dénominateur le nombre 99…9
ayant k fois le chiffre 9. Exemples
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Divisibilité des nombres en
99…9 |
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Tout nombre
n, non divisible par 2 ou 5, divise un
repdigit en 9 (R9) de q chiffres. Le
tableau montre cet effet pour les nombres de 2 à 15.
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Voir suite en Longueur
de la période d'un nombre périodique
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L'idée est de chercher des fractions
particulières qui se simplifient, de sorte que le dénominateur en 9 s'efface.
Il est alors difficile de suspecter que l'origine est une fraction aussi
simple que celle en 999… Les nombres périodiques étudiés ici sont
ceux présentant des chiffres tous différents dans leur périodes. Exemples
Voir Nombre 142
857 |
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Plus la quantité de diviseurs des nombre en
999… est grande et plus la possibilité
de simplifier une fraction en N/999… est grande. Voici la quantité de
diviseurs et les facteurs de ces nombres jusqu'à 99…921.
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1 chiffre |
1 / 9 = 0, 1111 … |
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2 chiffres Les 3 seules pour N avec chiffres
croissants qui se suivent. |
Numérateur,
Dénominateur, Fraction simplifiée, Développement
décimal 12, 99, 4/33, 0, 1212121212 45, 99, 5/11, 0, 4545454545 78, 99, 26/33, 0, 7878787879 |
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3 chiffres Les 7 pour N avec chiffres croissants qui
se suivent. |
123, 999, 41/333, 0, 1231231231 234, 999, 26/111, 0, 2342342342 345, 999, 115/333, 0, 3453453453 456, 999, 152/333, 0, 4564564565 567, 999, 21/37, 0, 5675675676 678, 999, 226/333, 0, 6786786787 789, 999, 263/333, 0, 7897897898 |
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4 chiffres Les 2 pour N avec chiffres croissants qui
se suivent. Et 4 doublets à signaler (N avec chiffres
différents en 3, 4, 5 et 6). |
3456, 9999, 384/1111, 0, 3456345635 6789, 9999, 2263/3333, 0,
6789678968 3465, 9999,
35/101, 0, 3465346535 3564, 9999,
36/101, 0, 3564356436 4356, 9999, 44/101, 0, 4356435644 4653, 9999, 47/101, 0, 4653465347 5346, 9999,
54/101, 0, 5346534653 5643, 9999,
57/101, 0, 5643564356 6435, 9999, 65/101, 0, 6435643564 6534, 9999, 66/101, 0, 6534653465 |
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5 chiffres Les 2 pour N avec chiffres croissants qui
se suivent. Les 8 avec D le plus petit (2 chiffres) – N
avec chiffes différents; tous comportent un 0. Les suivantes (nombreuses) sont en D = 123
puis D = 271. |
12345, 99999, 4115/33333, 0, 1234512345 45678, 99999, 15226/33333, 0,
4567845678 24390, 99999,
10/41, 0, 2439024390 39024, 99999,
16/41, 0, 3902439024 43902, 99999,
18/41, 0, 4390243902 56097, 99999,
23/41, 0, 5609756098 60975, 99999,
25/41, 0, 6097560976 75609, 99999, 31/41, 0, 7560975610 90243, 99999,
37/41, 0, 9024390244 97560, 99999,
40/41, 0, 9756097561 30894, 99999,
38/123, 0, 3089430894 12546, 99999,
34/271, 0, 1254612546 |
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6 chiffres Les 4 pour N avec chiffres croissants qui
se suivent. Autres exemples pour D petit; N avec
chiffres toujours différents. |
123456, 999999,
41152/333333, 0, 1234561235 234567, 999999,
26063/111111, 0, 2345672346 345678, 999999, 115226/333333,
0, 3456783457 456789, 999999, 152263/333333, 0, 4567894568 142857,
999999, 1/7, 0, 1428571429 >>> 153846,
999999, 2/13, 0, 1538461538 190476,
999999, 4/21, 0, 1904761905 102564,
999999, 4/39, 0, 1025641026 126984,
999999, 8/63, 0, 1269841270 103896,
999999, 8/77, 0, 1038961039 120879, 999999,
11/91, 0, 1208791209 |
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7 chiffres L'unique pour N avec chiffres croissants
qui se suivent. Les 13 en D = 717; N avec chiffres toujours
différents. |
3456789, 9999999, 1152263/3333333,
0, 3456789346 1324965,
9999999, 95/717, 0, 1324965132 2496513, 9999999,
179/717, 0, 2496513250 3249651, 9999999,
233/717, 0, 3249651325 3486750, 9999999,
250/717, 0, 3486750349 4867503, 9999999,
349/717, 0, 4867503487 4965132, 9999999,
356/717, 0, 4965132497 5034867, 9999999,
361/717, 0, 5034867503 5132496, 9999999,
368/717, 0, 5132496513 6513249, 9999999,
467/717, 0, 6513249651 6750348, 9999999,
484/717, 0, 6750348675 7503486, 9999999,
538/717, 0, 7503486750 8675034, 9999999,
622/717, 0, 8675034868 9651324, 9999999,
692/717, 0, 9651324965 |
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8 chiffres Aucune avec les chiffres qui se suivent. |
La plus petite avec chiffres différents 15068493,
99999999, 11/73, 0, 1506849315 |
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9 chiffres Aucune avec les chiffres qui se suivent. |
La plus petite avec chiffres différents,
proche de la configuration recherchée avec des chiffres qui se suivent. 123456790, 999999999, 10/81,
0, 1234567901 |
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N
avec chiffres croissants qui se suivent
Avec
7 chiffres: 3456789
/ 9999999 = 1152263 / 3333333 = 0, 3456789 346 ... Avec
3 chiffres: 567 / 999 = 21/37 = 0, 567 567 …
123456790 / 999999999 = 10 / 81 = 0, 1234567901 N
avec des chiffres simplement différents
Avec
6 chiffres: 142857
/ 999999 = 1 / 7 = 0, 1428571429 |
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