NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 27/02/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Divisibilité des nombres permutés

Quels sont les nombres dont les permutés sont divisibles par le même nombre. Tous cousins des repdigits en 9!

Exemple

Nombre 37
Prenons les multiples de 37 (N) et leurs permutations circulaires (M et P). Par exemple: N = 148 devient M = 481 et P = 814 par permutations circulaires. Le tableau montre également leur division par 37: 148 / 37 = 4; 851 / 37 = 23 et 814 / 37 = 22. Notons que 37 x 27 = 999 Tous les multiples de 37 ayant trois chiffres et leurs permutations sont divisibles par 37. Cette divisibilité se retrouve également pour les multiples ayant 3k chiffres. C'est le cas de la plage à 6 chiffres de 2704 x 37 = 100 048 à 27 27 x 37 = 999 999.

Nombre 33
Tous les multiples de 33 ayant quatre chiffres et leurs permutations sont divisibles par 33. Notons que 33 x 303 = 9999.

Nombre 41
Tous les multiples de 41 ayant cinq chiffres et leurs permutations sont divisibles par 41.

Cas de divisibilité des nombres permutés

Ce phénomène se produit pour tous les diviseurs des repdigits en 9 et cela pour la plage de nombres ayant la même quantité de chiffres que le repdigit en 9. Diviseurs des repdigits en 9 Les valeurs en rouge sont celles analysées ci-dessous. Toutes engendrant une divisibilité des multiples et de leurs permutés circulairement dans la plage du nombre de chiffres du repdigit en 9. N est le diviseur; c est la quantité de chiffres du repdigit; la plage donne le premier multiple divisible et le dernier de la plage. Par exemple pour 27: Début en 4 x 27 =108 et fin de plage de divisibilité en 37 x 27 = 999. Les deux colonnes de droite montrent des exemples avec indications des divisibilités des nombres permutés.

Constat général

Pour tous les repdigits R en 9 de c chiffres, les diviseurs du repdigit divise aussi les permutations circulaires de ses multiples ayany c chiffres.

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