NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Triangles

 

Nombres

 

Des nombres

De Pascal

De Leibniz

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Le triangle des nombres

>>> Explications

>>> Carrés

>>> Colonne centrale

>>> Divisibilité par 3

>>> Produit – Démonstration

 

 

 

 

 

TRIANGLE des NOMBRES

 

En inscrivant les nombres entiers les uns après les autres dans ce triangle, un certain nombre de propriétés se révèlent. Que de surprises …

 

 

Approche

*      Il s'agit d'aligner les nombres successifs selon une sorte de pyramide.

*      Chaque ligne comporte un nombre de plus, de chaque côté.

*      A priori, rien de spectaculaire!
Et pourtant …

 

 

Tiens! On constate la présence de carrés en bout de ligne.

 

 

 

Le triangle des nombres jusqu'au douzième niveau

 

 

 

Explications

Numéro

*    La colonne de gauche indique le rang n des lignes successives.

n

Quantité

*    La colonne de droite indique la quantité de nombres dans la ligne. Ce sont les nombres impairs successifs.

n + (n – 1) = 2n – 1

Dessus-

Dessous

*    Les écarts qui séparent les nombres entre deux lignes correspondent à la suite de tous les nombres pairs.

2n

Carré

*    Le bord droit du triangle fait apparaître tous les carrés successifs.

n2

Centre

*    La colonne centrale est facilement calculable.

n2 – n + 1

Division par 3

*    Un nombre sur quatre est divisible par 3 dans la colonne centrale.

3, 21, 57 …

Produit

*    Le produit de deux nombres l'un sous l'autre est dans la même colonne, k cellules plus bas, k étant le nombre le plus petit du produit.

8 x 14 = 112

Ces propriétés sont explicitées ci-dessous

 

 

Carrés

*    Différence entre deux carrés: elle est égale à la quantité de nombres dans la ligne. pas étonnant de retrouver les carrés en bout de ligne.

 

n² – (n – 1)² = 2n – 1

                    = n + (n – 1)

= quantité de nombres dans la ligne

 

 

 

Pour passer d'un carré au suivant, on lui ajoute la somme des deux nombres concernés

 

 

 

 

Colonne centrale

 

*    Les nombres de la colonne centrale se trouvent au carré précédent plus la moitié de la ligne (en respectant les quantités entières).

Nc = (n – 1)² + (2n – 1 + 1) /2

     = n² – 2n + 1 + n

     = n² – n + 1

 

 

 

Divisibilité par 3

*    Point de départ: le nombre 3 en rang 2 et les suivants sont en rang 2 + 3k.

*    Avec d'autres formules en n + mk, on trouve cette propriété pour les premiers suivants à raison de un sur deux. C'est ce que montre le tableau suivant.

 

N3 = n² – n + 1

            avec n = 2 + 3k

 

N3 = (2 + 3k – (2 + 3k) + 1

    = 4 + 12k + 9k² – 2 – 3k + 1   

    = 9k² – 9k + 3

    = 3 (3k² – 3k + 1) Divisible par 3

 

 

 

*    Nc est le nombre central de rang n.

*    Les cases en jaunes montrent les cas où le nombre central est divisible par le nombre premier en tête de colonne.

*    C'est le cas pour 3 7, 13, 19 … mais pas pour 5, 11 17 …


*    Les nombres dans le tableau sont les valeurs des restes de la division (le modulo).

 

 

 

Produit - Démonstration

 

*    Un bon exercice d'algèbre qui exploite les propriétés du triangle des nombres. On procède en deux étapes:

*    On calcul le produit littéralement, tout en vérifiant les valeurs numériques obtenues avec l'exemple 5 x 8.

*    En faisant l'hypothèse que la propriété est vraie, le résultat est calculé littéralement, toujours avec la vérification numérique.

*    En final, il s'agit bien de la même formule dans les deux cas (marquée en jaune).

*    n est le numéro de la ligne et k est le rang dans la ligne (exemple numérique avec n = 3 et k = 3 qui désignent le nombre 5 dans le triangle des nombres)

 

 

 

Bilan

Un simple tableau de nombres nous apprend les nombres pairs, impairs, les carrés et leur progression, la divisibilité … et l(occasion d'un bon exercice d'algèbre.

 

 

 

 

 

Suite

*    Triangle de Pascal

*    Spirale de Ulam

Voir

*    Barre magique des nombres premiers

*    Boucle infernale

*    Calcul mental

*    Combinaisons

*    Formule du binôme

*    GéométrieIndex

*    Petit théorème de Fermat

*    Récurrence

*    Théorie des nombres

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