NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Division par zéro

>>> Démonstration erronée avec division par 0

>>> Démonstration erronée autre cause

>>> Plus grand – plus petit

 

 

 

 

Le professeur vient de passer un long moment au tableau à faire sa démonstration et annonce triomphalement: le résultat est donc: X = 0. Un élève au fond de la classe: Eh bien, travailler tout ce temps  pour un résultat nul!

Voir Pensées & humour

 

 

ZÉRO en ALGÈBRE

 

Le zéro peut se transformer en traître!

La division par 0 est impossible. Elle est parfois donnée comme définition de l'infini.

La division par 0 est source de nombreuses fausses démonstrations.

Anglais: Fallacy or fallacious demonstrations

 

 

 

 

DÉMONSTRATIONS ERRONÉES

AVEC DIVISION PAR 0

Exemple 1

*    Prenons l'égalité

a = b

*    Multipliez  par a

*    Ajoutez a²

*    Retirez 2ab

*    Mettez 2 en facteur

a² = ab

2a² = a² + ab

2a² – 2ab = a² + ab – 2ab

2 (a² – ab) = 1 (a² – ab)

*    Simplification

2 = 1

Remarquez à la ligne "simplification":

Eh, oui nous avons divisé par 0.

a² – ab = 0

Exemple 2

*    Prenons l'égalité

a = b

*    On multiple par a

*    On soustrait b²

*    On décompose

a² = ab

a² – b² = ab – b²

(a + b)(a – b) = b (a – b)

*    On simplifie

a + b = b

*    Et, même

a = 0

*    Conclusion

Si a = b alors a = 0

Évidemment, c'est faux

On a divisé par 0, car:

a – b = 0

Exemple 3

 

*    Toujours la même histoire: la division interdite par 0.
Ici avec a – b = 1 – 1 = 0.

a = 1
b = 1

a = b
a2 = b2
a2
b2 = 0
(a
b) (a + b) = 0
(a
b) (a + b) / (a b) = 0 / (a b)
1 (a + b) = 0
(a + b) = 0
1 + 1 = 0
2 = 0

Autre exemple pour 1 = 2

 

 

Autres exemples avec division par 0

D'une manière générale

(x – 1) / (x – 1)

= 1

(x2 – 1) / (x – 1)

= x + 1

(x3 – 1) / (x – 1)

= x² + x + 1

(x4 – 1) / (x – 1)

= xn-1 +...+ x² + x + 1

Pour x =1

En utilisant les résultats ci-dessus

(1 – 1) / (1 – 1)

= 1

(11 – 1) / (1 – 1)

= 1 + 1 = 2

(12 – 1) / (1 – 1)

= 1² + 1 + 1 = 3

(1n – 1) / (1 – 1)

= 1n-1 +...+ 1² + 1 + 1 = n

Toutes ces fractions, dont les numérateurs et les dénominateurs  sont égaux, sont égales

donc tous ces résultats le sont également

Soit

1 = 2 = 3 = … = n

 

 

Comment démontrer que 1 = 0

Supposons que

 

x

=

y

 

Plus y et moins y

 

x – y + y

=

y

 

Division par x-y

 

x – y + y

=

y

 

x - y

x – y

En sortant une unité

1 +

y

=

y

 

x – y

x – y

En retranchant

 

1

=

0

 

L'erreur se trouve dans la division par (x – y) qui n'est pas permise du tout! En effet, comme x = y, (x – y) vaut 0

Or une division par 0 est interdite, car le résultat est indéfini.

 

 

 

Autre type de démonstration fallacieuse

avec des nombres complexes

*    Prenons l'égalité

*    Avec les racines

 

 

 

*    Divisons par 2

Ajoutons 3 / 2i

Multiplions par i

 

*    En remplaçant i² par -1

 

 

*    La piste n'est pas une division par zéro dans ce cas. Il s'agit d'un problème de racine.

Voir Nombres complexes / Racines

En savoir plus sur cette fausse démonstration, voir le site Proof using complex numbers

 

 

 

Le même type de démonstration

sans la déguiser avec l'usage des complexes

– 2 = – 2
4 – 6 = 1 – 3
4 – 6 + 9/4 = 1 – 3 + 9/4
(2 –  3/2)2 = (1 –  3/2)2
2 – 3/2 = 1 – 3/2
2 = 1

 

 

 

Suite

*         Infini & zéro

*         Voir en haut de page

*           Additions fallacieuses

*         Démonstration avec 2 + 2 = 5

*         Démonstration:  1 + 2 + 3 + … = 1/12

*         Tracas de débutants

Voir

*         Calcul mentalIndex

*         Comparaison des moyennes

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