NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/12/2019 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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			Sommaire de cette page >>> Pourquoi on ne peut pas diviser par 0 >>> Division par zéro >>> Démonstration erronée avec division par 0 >>> Démonstration erronée autre cause >>> Plus grand – plus petit

Le professeur vient de passer un long moment au tableau à faire sa démonstration et annonce triomphalement: le résultat est donc: X = 0. Un élève au fond de la classe: Eh bien, travailler tout ce temps pour un résultat nul!

Voir Pensées & humour

ZÉRO en ALGÈBRE

Le zéro peut se transformer en traître!

La division par 0 est impossible. Elle est parfois donnée comme définition de l'infini.

La division par 0 est source de nombreuses fausses démonstrations.

Anglais: Fallacy or fallacious demonstrations

Pourquoi on ne peut pas diviser par 0
Définition de l'inverse d'un nombre Soit n, un nombre quelconque. Par définition, l’inverse de n est le nombre n’ tel que n x n’ = 1. Trouver l’inverse de 0, c’est trouver un nombre n’ tel que 0 x n’ = 1. Ce qui est évidemment impossible, car on peut multiplier n’importe quoi par zéro, on obtiendra toujours zéro. Zéro n’a donc pas d’inverse. Par conséquent, on ne peut pas multiplier par l’inverse de zéro ou diviser par zéro. En résumé: Lorsque n tend vers l'infini, la limite de la fraction 1/n est 0. Lorsque n tend vers zéro, la limite de la fraction 1/n est l'infini.		Fraction qui tend vers l'infini Une fraction avec 0 au dénominateur est indéterminée: ni égale à 0, ni égale à l’infini, elle est un contresens mathématique. Exemples
Fonction 1/n pour n = 1 à 10	Fonction 1/n pour n = 1 à 1000
Hypothèse Comme on a posé i² = -1, pourquoi ne pas poser que l'infini est l'inverse de 0 dans la multiplication. L'inverse d'un nombre N est tel que N x 1/N = 1. Par exemple, l'inverse de 2 et ½, celui de 10 est 1/10. On pose donc que: 0 x infini = 1 Impossible ! Cela conduirait à des conclusions inacceptables.

DÉMONSTRATIONS ERRONÉES AVEC DIVISION PAR 0
Exemple 1
Prenons l'égalité	a = b
Multipliez par a Ajoutez a² Retirez 2ab Mettez 2 en facteur	a² = ab 2a² = a² + ab 2a² – 2ab = a² + ab – 2ab 2 (a² – ab) = 1 (a² – ab)
Simplification	2 = 1
Remarquez à la ligne "simplification": Eh, oui nous avons divisé par 0.	a² – ab = 0
Exemple 2
Prenons l'égalité	a = b
On multiple par a On soustrait b² On décompose	a² = ab a² – b² = ab – b² (a + b)(a – b) = b (a – b)
On simplifie	a + b = b
Et, même	a = 0
Conclusion	Si a = b alors a = 0
Évidemment, c'est faux On a divisé par 0, car:	a – b = 0
Exemple 3
Toujours la même histoire: la division interdite par 0. Ici avec a – b = 1 – 1 = 0.	a = 1 b = 1 a = b a^2 = b^2 a^2 – b^2 = 0 (a – b) (a + b) = 0 (a – b) (a + b) / (a – b) = 0 / (a – b) 1 (a + b) = 0 (a + b) = 0 1 + 1 = 0 2 = 0

Autre exemple pour 1 = 2

Autres exemples avec division par 0
D'une manière générale
(x – 1) / (x – 1)	= 1
(x^2 – 1) / (x – 1)	= x + 1
(x^3 – 1) / (x – 1)	= x² + x + 1
(x^4 – 1) / (x – 1)	= x^n-1 +...+ x² + x + 1
Pour x =1	En utilisant les résultats ci-dessus
(1 – 1) / (1 – 1)	= 1
(1^1 – 1) / (1 – 1)	= 1 + 1 = 2
(1^2 – 1) / (1 – 1)	= 1² + 1 + 1 = 3
(1^n – 1) / (1 – 1)	= 1^n-1 +...+ 1² + 1 + 1 = n
Toutes ces fractions, dont les numérateurs et les dénominateurs sont égaux, sont égales	donc tous ces résultats le sont également
Soit	1 = 2 = 3 = … = n

Comment démontrer que 1 = 0
Supposons que		x	=	y
Plus y et moins y		x – y + y	=	y
Division par x-y		x – y + y	=	y
		x - y		x – y
En sortant une unité	1 +	y	=	y
		x – y		x – y
En retranchant		1	=	0
L'erreur se trouve dans la division par (x – y) qui n'est pas permise du tout! En effet, comme x = y, (x – y) vaut 0 Or une division par 0 est interdite, car le résultat est indéfini.

Autre type de démonstration fallacieuse avec des nombres complexes
Prenons l'égalité
Avec les racines
Divisons par 2 Ajoutons 3 / 2i Multiplions par i
En remplaçant i² par -1
La piste n'est pas une division par zéro dans ce cas. Il s'agit d'un problème de racine.

Voir Nombres complexes / Racines / Démonstration fallacieuse en géométrie

En savoir plus sur cette fausse démonstration, voir le site Proof using complex numbers

Le même type de démonstration sans la déguiser avec l'usage des complexes
– 2 = – 2 4 – 6 = 1 – 3 4 – 6 + 9/4 = 1 – 3 + 9/4 (2 – 3/2)^2 = (1 – 3/2)^2 2 – 3/2 = 1 – 3/2 2 = 1

Suite	Infini & zéro Voir en haut de page Additions fallacieuses Démonstration avec 2 + 2 = 5 Démonstration: 1 + 2 + 3 + … = 1/12 Tracas de débutants
Voir	Calcul mental – Index Comparaison des moyennes Équations Identités Infinitésimaux Magie Nombre d'Or
DicoNombre	Petits nombres Un
Sites	Pourquoi la division par zéro est impossible ? – Daily Geek Show – Vidéo en anglais, facile à suivre
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/ZerAlgeb.htm