NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Pourquoi on ne peut pas diviser par 0

>>> Division par zéro

>>> Démonstration erronée avec division par 0

>>> Démonstration erronée autre cause

>>> Plus grand – plus petit

 

 

 

 

Le professeur vient de passer un long moment au tableau à faire sa démonstration et annonce triomphalement: le résultat est donc: X = 0. Un élève au fond de la classe: Eh bien, travailler tout ce temps  pour un résultat nul!

Voir Pensées & humour

 

 

ZÉRO en ALGÈBRE

 

Le zéro peut se transformer en traître!

La division par 0 est impossible. Elle est parfois donnée comme définition de l'infini.

La division par 0 est source de nombreuses fausses démonstrations.

Anglais: Fallacy or fallacious demonstrations

 

 

 

 

Pourquoi on ne peut pas diviser par 0

 

Définition de l'inverse d'un nombre

Soit n, un nombre quelconque. Par définition, l’inverse de n est le nombre n’ tel que n x n’ = 1.

Trouver l’inverse de 0, c’est trouver un nombre n’ tel que 0 x n’ = 1.

Ce qui est évidemment impossible, car on peut multiplier n’importe quoi par zéro, on obtiendra toujours zéro.

Zéro n’a donc pas d’inverse. Par conséquent, on ne peut pas multiplier par l’inverse de zéro ou diviser par zéro.

 

Fraction qui tend vers l'infini

Une fraction avec 0 au dénominateur est indéterminée: ni égale à 0, ni égale à l’infini, elle est un contresens mathématique.

 

Exemples

 

 

 

DÉMONSTRATIONS ERRONÉES

AVEC DIVISION PAR 0

Exemple 1

*    Prenons l'égalité

a = b

*    Multipliez  par a

*    Ajoutez a²

*    Retirez 2ab

*    Mettez 2 en facteur

a² = ab

2a² = a² + ab

2a² – 2ab = a² + ab – 2ab

2 (a² – ab) = 1 (a² – ab)

*    Simplification

2 = 1

Remarquez à la ligne "simplification":

Eh, oui nous avons divisé par 0.

a² – ab = 0

Exemple 2

*    Prenons l'égalité

a = b

*    On multiple par a

*    On soustrait b²

*    On décompose

a² = ab

a² – b² = ab – b²

(a + b)(a – b) = b (a – b)

*    On simplifie

a + b = b

*    Et, même

a = 0

*    Conclusion

Si a = b alors a = 0

Évidemment, c'est faux

On a divisé par 0, car:

a – b = 0

Exemple 3

 

*    Toujours la même histoire: la division interdite par 0.
Ici avec a – b = 1 – 1 = 0.

a = 1
b = 1

a = b
a2 = b2
a2
b2 = 0
(a
b) (a + b) = 0
(a
b) (a + b) / (a b) = 0 / (a b)
1 (a + b) = 0
(a + b) = 0
1 + 1 = 0
2 = 0

Autre exemple pour 1 = 2

 

 

Autres exemples avec division par 0

D'une manière générale

(x – 1) / (x – 1)

= 1

(x2 – 1) / (x – 1)

= x + 1

(x3 – 1) / (x – 1)

= x² + x + 1

(x4 – 1) / (x – 1)

= xn-1 +...+ x² + x + 1

Pour x =1

En utilisant les résultats ci-dessus

(1 – 1) / (1 – 1)

= 1

(11 – 1) / (1 – 1)

= 1 + 1 = 2

(12 – 1) / (1 – 1)

= 1² + 1 + 1 = 3

(1n – 1) / (1 – 1)

= 1n-1 +...+ 1² + 1 + 1 = n

Toutes ces fractions, dont les numérateurs et les dénominateurs  sont égaux, sont égales

donc tous ces résultats le sont également

Soit

1 = 2 = 3 = … = n

 

 

Comment démontrer que 1 = 0

Supposons que

 

x

=

y

 

Plus y et moins y

 

x – y + y

=

y

 

Division par x-y

 

x – y + y

=

y

 

x - y

x – y

En sortant une unité

1 +

y

=

y

 

x – y

x – y

En retranchant

 

1

=

0

 

L'erreur se trouve dans la division par (x – y) qui n'est pas permise du tout! En effet, comme x = y, (x – y) vaut 0

Or une division par 0 est interdite, car le résultat est indéfini.

 

 

 

Autre type de démonstration fallacieuse

avec des nombres complexes

*    Prenons l'égalité

*    Avec les racines

 

 

 

*    Divisons par 2

Ajoutons 3 / 2i

Multiplions par i

 

*    En remplaçant i² par -1

 

 

*    La piste n'est pas une division par zéro dans ce cas. Il s'agit d'un problème de racine.

Voir Nombres complexes / Racines

En savoir plus sur cette fausse démonstration, voir le site Proof using complex numbers

 

 

 

Le même type de démonstration

sans la déguiser avec l'usage des complexes

– 2 = – 2
4 – 6 = 1 – 3
4 – 6 + 9/4 = 1 – 3 + 9/4
(2 –  3/2)2 = (1 –  3/2)2
2 – 3/2 = 1 – 3/2
2 = 1

 

 

 

Suite

*         Infini & zéro

*         Voir en haut de page

*           Additions fallacieuses

*         Démonstration avec 2 + 2 = 5

*         Démonstration:  1 + 2 + 3 + … = 1/12

*         Tracas de débutants

Voir

*         Calcul mentalIndex

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