NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 05/07/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Suites & Séries

 

Débutants

Général

CLASSIQUES

 

Glossaire

Suites

 

 

INDEX

Suites

 

Général

Harmonique

Suite aliquote

Typiques

De Farey

Séquences numériques

1 / (1 – x)

De Martin-Löf

Thue Morse

xk / (xk – 1)

Engel

 

1 – 1 + 1 – 1 +

 

 

Sommaire de cette page

>>> Somme qui rend fou

>>> Somme qui rend encore plus fou

>>> Somme de Cesaro

>>> Bilan

 

 

 

 

 

 

SÉRIES en: 1 – 1 + 1 – 1 + …

et aussi:      1 + 2 + 3 + 4 + …

 

Somme alternées et convergences ?

Il existe trois types de séries:

*    les séries convergentes;

*    les séries divergentes vers plus l'infini ou moins l'infini; et

*    les séries dont la convergence est indéfinie.

Nous nous intéressons au dernier cas pour lequel une extension de la notion de convergence a été imaginée: la somme de Cesaro.

Vrai ou faux ?

 

 

Vrai sous certaines conditions !

Voir DicoMot Maths – Suites et Séries

 

 

Les séries divergentes sont une invention du diable et c’est une honte qu’on ose fonder sur elles la moindre démonstration. On peut tirer d’elles tout ce qu’on veut quand on les emploie et ce sont elles qui ont produit tant d’échecs et tant de paradoxes. (…) Mes amis, voici quelque chose dont il faut se moquer.

Abel – 1826

Voir Pensées & humour

 

 

Somme qui rend fou – Série de Grandi

 

 

Trois résultats pour une série.

 

S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...

1

= (1 – 1 ) + (1 – 1) + ...

 S =  0

2

= 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – ...

 S =  1

3

= 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...) = 1 – S

 S = 1/2

 

En fait, cette série n'est pas convergente, c'est tout!

La somme 3 s'obtient également en appliquant la formule en bas à gauche du tableau ci-dessus.

 

Historique

 

Luigi Guido Grandi (1671 – 1742) analyse la série qui porte son nom et en tire des conclusions théologiques controversées.

Wilhelm Leibniz (1646-1716), ayant trouvé S = 0 et S = 1. Et constatant que la probabilité de chaque valeur devait être égale, il avait conclu que S = ½. C'est-à-dire la valeur moyenne.


 

 

 

Somme qui rend plus fou – Méthode d'Euler

 

 

Euler avec sa méthode, sans se soucier des questions de convergence,  trouve une formule générale qui lui permet de calculer des suites infinies en donnant une valeur à la variable.

*    La somme des inverses des puissances de 2 successives:

*    Il donne une valeur à la somme de la suite alternée des 1 et -1.

*    En dérivant sa formule, il obtient la somme de la suite alternée des entiers. La suite infinie serait égale à ¼, alors que le calcul donne 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 …valeurs continument croissante.

 

Voir Développement en série entière de la fonction 1 / (1 + x) / Produit infini de puissances de 2

 

 

Somme qui rend encore plus fou … :  1 + 2 + 3 + …

 

En reprenant la suite qui rend fou et en lui affectant la valeur moyenne de ½, nous calculons la suite S3 égale à la somme des entiers.

Paradoxe: la somme des entiers vaut – 1/12 = – 0,08333

 

Premier calcul de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan (1887-1920) fait ce calcul étrange:

 

 

Évidemment le loup est dans la valeur de la suite initiale. Sa valeur moyenne égale à ½ n'est pas légitime.

 

Deuxième calcul de Ramanujan – Sommation de Ramanujan

Il utilise le calcul d'une suite alternée selon la méthode d'Euler, exposée ci-dessus.

Cette fois, pas d'hypothèse, alors … ?

 

Autres bizarreries de Ramanujan

Somme au sens de Ramanujan parfois accompagnée d'un symbole  pour bien notifier qu'il 'agit d'une somme spéciale.

 

 

 

 

Somme (ou sommation) de Cesaro

 

Somme de Cesarlo

 

Ernesto Cesaro (1859-1906) définit une moyenne pour donner une valeur à ce type de série sans convergence.

 

On calcule toutes les sommes partielles avec les k premiers termes (Sk) et on en prend la moyenne arithmétique à chaque fois.

 

 

Dans le cas de la suite de Grandi

 

Le tableau montre le principe du calcul. Les moyennes successives sont:
1/1, 1/2, 2/3, 2/4, 3/5, 3/6, 4/7 …

La limite est égale à 1/2

Dans le cas de la suite de Ramanujan

Cette fois, la suite est divergente. Pas de limite à la somme au sens de Cesaro.

Voir Notions de somme classique et avancée

 

 

 

Bilan

Pas question de dire que ces suites ont une véritable valeur. Pour Cesaro et avec sa somme (on dit plutôt "sommation", il s'agit d'attribuer une grandeur (une mesure, une étiquette)) à la suite lorsque c'est possible. Cette manière de faire n'est pas toujours couronnée de succès. C'est le cas notamment avec la suite des nombres entiers.

Pour étendre la notion de convergence d'autres méthodes de sommation ont également été imaginées.

 

 

Anglais

The Cesàro sum is defined as the limit of the arithmetic mean of the partial sums of the series.

The Cesaro sum of an infinite series is the limit of the arithmetic mean (average) of the first n partial sums of the series, as n goes to infinity.

One can readily verify that the Cesaro sum of 1-1+1-1+... is 1/2, which is a bit intuitive to expect. On the other hand the series 1+2+3+... is not even summable using Cesaro method; it again diverges to infinity.

 

 

 

 

Suite

*    Voir en-tête pour autres suites

*    Démonstrations fallacieuses

Voir

*    Achille et la tortue

*    Énigmes en séquence

*    Fractals

*    Fractions égyptiennes

*    GéométrieIndex

*    JeuxIndex

*    Séquences numériques

*    Série 1 + 2x + 3x² + ... 

*    Somme des entiers, des inverses…

*    Suite de la copie augmentée

*    Suite des inverses des premiers

*    Suites fractales

*    Théorie des nombresIndex

*    Triangle de Leibniz

DicoNombre

*    1  /  1/2  /  1/3   /  1/4  /  1/9

*    Nombre 12

Sites

*    Le scandale des suites divergentes – Science étonnantes – David Louapre

*    Sommation de Ramanujan – Wikipédia

*    Sommation de Cesaro – Wikipédia

*    Série alternée des entiers: 1 – 2 + 3 – 4 + … Wikipédia

*    Alternating factorial – Wolfram MathWorld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/Suitfou.htm