NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Réelle (gd nombre)

Complexe

 

Sommaire de cette page

>>> Calcul d'une puissance entière (grand nombre)

>>> Puissance complexe d'un nombre

>>> Puissance complexe d'un complexe

>>> Puissance complexe avec trigonométrie

>>> Exemple de calcul

>>> Puissance complexe avec exponentielle

 

 

 

 

 

PUISSANCE COMPLEXE

d'un nombre

 

Généralement l'élévation à la puissance est à base d'entiers, voire de fractionnaires. Peut-on imaginer élever un nombre à une puissance complexe, voire un nombre complexe à une puissance complexe ? …

 

 

Comme pour les réels: z0 = 1 >>>

 

 

Calcul d'une puissance entière – Grand nombre

 



Voir Cercle trigonométrique

 

 

 

Puissance complexe d'un nombre

*    Quelle est la valeur de =>

La réponse n'est pas simple.

*    La somme des exposants témoignent d'un produit.

*    Conversion sous forme exponentielle.

*    Passage à la forme trigonométrique pour la partie imaginaire.

*    Et pour la partie réelle avec les fonctions hyperboliques. Notez bien l'absence de i.

)

*    Forme classique en conservant la partie réelle sous forme de puissance

 

Exemple avec n = 2

Quelques exemples

 

 

 

Puissance complexe d'un complexe

*    Quelle est la valeur de =>

La réponse n'est pas simple du tout!

*    La somme des exposants témoignent d'un produit.

*    Conversion sous forme exponentielle.

*    Passage à la forme trigonométrique (hyperbolique).

*    Exemple avec n = m = a = b = 2

ln(2+2i) = 1,0397… + 0,78539… i

k =    0, 5086… + 3,6502 …i

N = –1,453… –  0,81141… i 

 

 

 

Puissance complexe avec trigonométrie

Voir identités trigonométriques

 

 

 Attention pour puristes.

Ces formules ne tiennent pas compte du fait que les réponses ne sont pas uniques.

Prenons za = exp (a ln z)

*    si a est un entier za est bien défini;

*    si a est un rationnel za a une infinité de solutions;

*    si a est un imaginaire pur za est réel, mais pas bien défini;

 

Exemple de calcul

 

 

 

 

Puissance complexe avec exponentielle

*      Forme générale

 

Voir Argument d'un complexe

*    Cas particulier

                  = 0,2739572535… +  i  x  0,5837007586…

                 

                  = (1 + i)1 (1 + i)i = (1 + i)i + i (1 + i)i

*    Spécifique

Voir Puissance de l'imaginaire =  réel

 

 

 

 

 

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