NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

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Général

ANTIQUITÉ

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Histoire

 

Polygones

 

Introduction

Duplication du cube

Trisection de l'angle

Segment de parabole

Quadrature du cercle

Heptagone

 

Sommaire de cette page

>>> Heptagone régulier

>>> Les mensurations de l'heptagone

>>> Calcul de la hauteur

>>> Calcul des rayons

>>> Dessin de l'heptagone

>>> Constructibilité

>>> Constructions approximatives

>>> Construction plus précise

>>> Équation dans le plan complexe

>>> Construction de Neusis

>>> Nantes

>>> Anglais

 

 

 

 

 

HEPTAGONE 

 

L'heptagone est le plus petit polygone régulier non constructible à la règle et au compas. Problème impossible, tout comme la quadrature du cercle. Cependant, il existe d'autres façons de construire l'heptagone. Vous trouverez amusant, également, de découvrir le propriétés des diagonales de l'heptagone.

 

Heptagone: du grec hepta, sept, et gônia, angle. Polygone qui a sept angles, et donc sept côtés. Anglais: heptagon

 

 

 Construction rapide

Microsoft Powerpoint 2007 offre la possibilité de dessiner un heptagone régulier facilement. Cette possibilité n'existe pas dans Word.

 

Rappel: pour obtenir un polygone régulier, maintenez la touche majuscule enfoncée; et pour le centrer, maintenez aussi la touche contrôle enfoncée.

 

 

 

HEPTAGONE RÉGULIER

*      L'heptagone régulier est cyclique (inscriptible dans un cercle).

 

*      Ses 14 diagonales sont seulement de deux types: 7 grandes et 7 petites >>>

 

*      Observez: au "pied" de l'heptagone: l'angle plat (180° =  ) est divisé en 7 angles égaux dont 5 ensemble forment l'angle au sommet de l'heptagone.

 

 

*      Valeur des angles dans l'heptagone régulier:

 

Voir Trigonométrie des angles en Pi/7

 

 

*      Rapport entre côté (a) de l'heptagone et le rayon (R) du cercle circonscrit:

Note sur le symbole pour le côté: "a" est classique, "c" est parfois utilisé pour ne pas confondre avec l'apothème; en anglais, c'est "s" pour side.

 

 

Évaluation de l'écart:

 

L'angle Pi/3 = 60° est l'angle du triangle équilatéral. Ce qui suggère une méthode de construction approximative à la règle et au compas.

 

Une autre méthode de construction approximative (plus compliquée!) repose sur le fait que la tangente est proche de 5/4 (Dixon en 1991):

 

Voir DicoNombre 0,86… / DicoNombre 1, 2539…

 

 

Les mensurations de l'heptagone

Voir Diagonales de l'heptagone – Calculs et propriétés

 

 

Calcul de la hauteur

*      Dans le triangle ADH, l'angle en H est droit

*      L'angle en A vaut la moitié d'un des angles de référence, soit ½ Pi/7.

*      Sa tangente est égale au rapport  DH / AH, avec DH = a/2 et AH = h, la hauteur cherchée.

 

 

 

 

Calcul des rayons et de l'aire

 

Rayon du cercle circonscrit (extérieur)

 

*      Dans le triangle ODE, l'angle en O est un angle au centre, double de l'angle DAE.

 

 

*      Leur moitié

 

*      Dans le triangle rectangle DHO

 

Rayon du cercle inscrit (intérieur)

 

*    Dans le même triangle

 

 

 

Notations

 

Aire de l'heptagone

 

Aire triangle ODE: ½ DE x OH

Aire de l'heptagone: 7 fois aire ODE.

 

*    Cette relation est commune à tous les polygones à n côtés.

 

 

 

DESSIN DE L'HEPTAGONE

 

Avec un rapporteur

*      Une droite horizontale H et une droite perpendiculaire V.

Tracez un cercle de rayon voulu

*    tangent à la droite H,

*    avec son centre sur V.

*      Avec un rapporteur marquez les angles suivants:

*    25,7°

*    51,4°

*    77,1°

*      Les points d'intersection des angles avec le cercle sont les sommets de l'heptagone. Tracez les horizontales (parallèles à H) pour obtenir les points symétriques.

*      Vous obtiendrez la figure >>>


 
Avec un canevas

 

Avec des allumettes

 

*      Prenez 6 allumettes identiques. Disposez-les comme sur la figure en alignant les extrémités sur la même droite (chacun des 2 côtés d'un triangle isocèle).
L'angle au sommet vaut: A = 25,7 ° =
 /7

 

 

 

CONSTRUCTIBILITÉ

 

*      On peut construire certains polygones à la règle et au compas

*    comme les triangles,

*    carrés,

*    pentagones,

*    hexagones,

*    octogones …

*      Et tous ceux qui ont un nombre de côtés multiples de ceux-ci. Même le polygone à 17 côtés est constructible comme le montra Gauss en 1796 (19 ans). Mais, le plus petit non-constructible est l'heptagone.

 

*      Archimède avait donné une construction révélée par les mathématiciens arabes (traduction de Thabit ibn Qurra – IXe siècle). Son authenticité n'est pas prouvée. Elle utilise le compas et une règle marquée de deux repères: construction dite de Neusis.

Par contre, on est sûr que François Viète (1540-1603) a découvert cette construction par lui-même et sans le bénéfice de l'algèbre moderne.

 

*      L'heptagone est parfaitement constructible en introduisant les coniques. Propriété mathématique, mais pas pratique du tout!

 

 

 

CONSTRUCTION approximative (efficace)

 

Principe

*      Méthode du triangle équilatéral.

*      Si le rayon du cercle circonscrit est égal à R, le côté de l'heptagone est très proche de la hauteur du triangle équilatéral de côté égal à R.

 

Rappel du calcul de la hauteur du triangle équilatéral

Triangle équilatéral AOC de côté R.

Sa hauteur h, calculée avec le théorème de Pythagore:

 

Ici nous avons placé un côté du triangle sur un rayon du cercle.

 

 

Longueur CE = h:

 

Différence: 0,0017…

soit de l'ordre de 2 pour mille.

 

Construction de l'heptagone dans un cercle donné

 

Pour construire l'heptagone régulier, facile!

1) Cercle de diamètre AOB;

2) Médiatrice CED de AO; et

3) La mesure du segment CE est très proche de celle du côté de l'heptagone. Ouvrir le compas sur cette mesure CE et la reporter six fois sur le cercle.

 

Notez qu'en commençant avec un cercle de rayon CE et de centre A, le report six fois de ce cercle nous amène en F qui est quasiment à l'intersection du cercle initial (bleu) et du premier cercle dessiné en A.

 

Tracé alternatif (simple)

Deux cercles de rayon unité comme montré sur la figure.

La longueur du segment rouge () est a reporté sur la circonférence d'un des cercles.

 

 

Autre présentation (équivalente, mais moins facile à dessiner)

 

 

1) Dessinez un triangle équilatéral dans un cercle; et

2) Reportez AH sur le cercle, mesure proche de celle du côté de l'heptagone.

 

Merci à Jean-Paul D. pour sa contribution

 

 

Construction encore plus précise

 

Les constructions précédentes approchaient le côté de l'heptagone à 2 pour 1000. La présente construction va réussir 7 pour 10 000.

 

Construction

Le cercle contenant l'heptagone et son carré circonscrit ABCD.

Le triangle équilatéral AEB s'appuyant sur AB.

M et N intersection du triangle avec le cercle.

QM est la longueur de l'heptagone à un iota près.


 

 

Calcul de la longueur QM

Système d'axes avec A pour origine

Dans le triangle rectangle AEQ avec Pythagore

AQ = 1

QE² = AE² – AQ² = 2R² – R² = 3R²

Équation de la droite AE

y =  x

Équation du cercle de centre O(1, 1)

(x – 1)² + (y – 1)² = 1

M intersection des deux

(x – 1)² + ( x – 1)² – 1 = 0

Résolution (calculs faits)

4x² – 2(1 + )x + 1 = 0

4x² - 5,4641… x +1 = 0

Solutions – Discriminant

D = b² – 4ac

    = (-2(1 + ))² – 4 .4 .1

    = 4 ((1 + – 4)

    =13,8564…

  = 3,722419…

Racine en x

 

(Celle ui nous intéresse. Plus bas, les deux solutions)

 

Racine en y

y =  x = 0,3770852534…

Coordonnées des  sommets du triangle rectangle MPQ

 

Pour information

Les deux solutions analytiques (avec radicaux):

 

Rappel: puissance ¼ veut dire racine quatrième de 3, soit la racine de la racine.

Les valeurs numériques:

 

 

Équation dans le  plan complexe

 

*      Construire un polygone régulier consiste à trouver es coordonnées des sommets du polygone dans un plan complexe.
Soit, trouver les racines nièmes de 1.
Ce sont les nombres cyclotomiques.

 

Une idée de la démonstration

 

*    Racine 7e de 1

z7

= 1

*    Première racine évidente

z

= 1

*    Factorisation

(z7 – 1)

= (z – 1) . f(z)

*    Après calculs

(z7 – 1) / (z – 1)

= z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1

*    Une des solutions est

z

= cos(360/7) + i . sin(360/7)

*    Avec

x

= z + 1/z

*    Après calculs

0

= x3 + x2 – 2x - 1

*    Si x est rationnel

x

= p/q

*    Alors

q3

= p (p2 + pq – 2q2)

*    Et, aussi

p3

= q (q2 – p2 + 2pq)

*    Conséquence

p

=  1

Voir Trisection

q

=  1

 

Ce qui est impossible

*      Les racines en x sont irrationnelles; c'est la même chose pour celles en z
L'heptagone n'est pas constructible.

 

 

 

 

CONSTRUCTION de NEUSIS

 

*      Par rapport à la construction à la règle et au compas, la construction de Neusis autorise en plus une règle marquée.

 

*      Dans ces conditions, les problèmes grecs insolvables deviennent faisables. Johnson en 1975 indique une construction de l'heptagone:



Éléments de construction

*    Une règle sur laquelle on marque une longueur a;

*    Un carré ABCD de côté a;

*    La médiatrice en M de AB;

*    Le cercle de centre B de rayon BD;

 

Placez la règle comme indiqué sur la figure

*    Extrémité T sur la médiatrice;

*    La marque de longueur a en U sur le cercle;

*    La règle s'appuyant sur le sommet A du carré.


Alors l'angle en T est égal à 1/2 angle élémentaire de l'heptagone.

angle en T =   / 14.

 

 

Construction alternative (plus simple me semble-t-il)

1) Dessinez un carré dont le côté est égal à la distance entre des deux marques sur la règle;

2) Médiatrice MN;

3) Cercle de centre A et de rayon AC;

4) Règle sur B avec une marque sur le cercle (H1) et l'autre sur la médiatrice (H2); et

5) Reportez cette longueur H1H2 sur le cercle de centre N et passant par H1H2.

 

 

 

Heptagone du puits du château de Nantes

 

P1050698

 

 

English Corner

 

A heptagon is a seven-sided polygon. The name septagon is not recommended.

The regular heptagon is not a constructible polygon.

 

Just as Archimedes described a method for trisecting an angle using a pair of compasses and a straight edge with two marks on it, so he gave a most ingenious method for constructing a regular heptagon.

 

A heptagram or septagram is a seven-pointed star drawn with seven straight strokes. There are two kinds of heptagram: obtuse or acute:

 

Each of the seven days of the week are represented as follows (clockwise):

 

 

 

 

Suite

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Sites

*    Panoplie du constructible Pierre Delezoïde - Lycée Buffon - Paris XV

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*    Construction of the regular heptagon using a grid

*    Impossible Geometric Constructions  Ask Dr. Math

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