NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/04/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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INDEX Histoire	Introduction	Duplication du cube	Trisection de l'angle
		Quadrature du cercle	Heptagone
		Sommaire de cette page >>> Heptagone régulier >>> Dessin de l'heptagone >>> Constructibilité >>> Équation dans le plan complexe >>> Construction de Neusis

HEPTAGONE

L'heptagone est le le plus petit polygone régulier non constructible à la règle et au compas. Problème impossible, tout comme la quadrature du cercle. Cependant, il existe d'autres façons de construire l'heptagone.

Heptagone: du grec hepta, sept, et gônia, angle. Polygone qui a sept angles, et donc sept côtés. Anglais: heptagon

HEPTAGONE RÉGULIER
Observez: au "pied" de l'heptagone: l'angle plat (180° = ) est divisé en 7 angles égaux dont 5 forment l'angle au sommet de l'heptagone. Valeur des angles dans l'heptagone régulier:

Voir Mesure des angles

Pour le dessiner

DESSIN DE L'HEPTAGONE

Avec un rapporteur Une droite horizontale H et une droite perpendiculaire V. Tracez un cercle de rayon voulu tangent à la droite H, avec son centre sur V. Avec un rapporteur marquez les angles suivants: 25,7° 51,4° 77,1° Les points d'intersection des angles avec le cercle sont les sommets de l'heptagone. Avec un canevas Avec des allumettes Prenez 6 allumettes identiques. Disposez-les comme sur la figure en alignant les extrémités sur la même droite (chacun des 2 côtés d'un triangle isocèle). L'angle au sommet vaut: A = 25,7 ° = /7

Note: l'heptagone figure parmi les outils de dessin Wordoffice

CONSTRUCTIBILITÉ
On peut construire certains polygones à la règle et au compas comme les triangles, carrés, pentagones, hexagones, octogones … Et tous ceux qui ont un nombre de côtés multiples de ceux-ci. Même le polygone à 17 côtés est constructible comme le montra Gauss en 1796 (19 ans). Mais, le plus petit non-constructible est l'heptagone.

Équation dans le plan complexe
Construire un polygone régulier consiste à trouver es coordonnées des sommets du polygone dans un plan complexe. Soit, trouver les racines nièmes de 1. Ce sont les nombres cyclotomiques. Une idée de la démonstration
Racine 7^e de 1	z^7	= 1
Première racine évidente	z	= 1
Factorisation	(z^7 – 1)	= (z – 1) . f(z)
Après calculs	(z^7 – 1) / (z – 1)	= z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1
Une des solutions est	z	= cos(360/7) + i . sin(360/7)
Avec	x	= z + 1/z
Après calculs	0	= x^3 + x^2 – 2x - 1
Si x est rationnel	x	= p/q
Alors	q^3	= p (p^2 + pq – 2q^2)
Et, aussi	p^3	= q (q^2 – p^2 + 2pq)
Conséquence	p	= 1
Voir Trisection	q	= 1
Ce qui est impossible Les racines en x sont irrationnelles; c'est la même chose pour celles en z L'heptagone n'est pas constructible.

CONSTRUCTION de NEUSIS

Par rapport à la construction à la règle et au compas, la construction de Neusis autorise en plus une règle marquée. Dans ces conditions, les problèmes grecs insolvables deviennent faisables. Johnson en 1975 indique une construction de l'heptagone: Éléments de construction Une règle sur laquelle on marque une longueur a; Un carré ABCD de côté a; La médiatrice en M de AB; Le cercle de centre B de rayon BD; Placez la règle comme indiqué sur la figure Extrémité T sur la médiatrice; La marque de longueur a en U sur le cercle; La règle s'appuyant sur le sommet A du carré. Alors l'angle en T est égal à 1/2 angle élémentaire de l'heptagone. angle en T = / 14.

Suite	Heptagone magique Polygones
Voir	Hilbert Histoire – Index Histoire et Antiquité Malhorne Nombre 7 Règle et compas Transcendant
Sites	Panoplie du constructible Pierre Delezoïde - Lycée Buffon - Paris XV Règle - Compas - Coniques Construction of the regular heptagon using a grid Impossible Geometric Constructions Ask Dr. Math