NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Nombres complexes

 

Débutants

Complexes

PUISSANCE

 

Glossaire

Complexe

 

 

INDEX

 

Complexes

 

Puissances

Réelle

Imaginaire

Complexe

Multi-valeurs

 

Sommaire de cette page

>>> Puissance entière de i

>>> Puissance complexe de i

>>> Formule d'Euler

>>> E puissance i Pi

>>> Table des valeurs des puissances avec les imaginaires

>>> Autres puissances avec i

>>> Racine carrée de fractions de l'imaginaire

>>> Racine carrée des multiples de l'imaginaire plus 1

 

 

 

 

 

Nombres complexes

PUISSANCE DE L'IMAGINAIRE

 

Généralement l'élévation à la puissance est à base d'entiers, voire de fractionnaires. Peut-on imaginer élever un nombre à une puissance imaginaire, voire un nombre imaginaire à une puissance imaginaire ? …

Que vaut i à la puissance i ?

 

Voir Calculs avec "i" / Racine carrée de – 1 et ses subtilités

 

 

 

Puissance entière de i

 

*    En multipliant 1 par i, puis le résultat par i, on saute du monde imaginaire au monde réel, qu'ils soient positifs ou négatifs.

*    Après quatre multiplications, on a fait un tour complet.

 

i2   =   – 1

i3   =   – i

i4   =     1

 

Selon la puissance de i

 

 

 

 

Exemples

i100 = i 25 x4    = 1

i101 = i 25 x4 +1 = i

 

Puissance complexe  de i

 

 

*    Ce tableau se poursuit vers la droite avec une répétition modulo 4. Avec a  = 4, on retrouve la colonne a = 0.

 

Voir Logarithme des complexes

 

Relations anglaises bien sympathiques

En français:   i (imaginaire)    8   symbole de la somme     pi

En anglais:  aille eight sum pi

En lisant: I ate some pie (je mange un peu de tarte).

En lisant: I over ate (j'ai trop mangé).

Voir Pensées et Humour / Rébus

 

 

Formule et identité d'Euler

En 1748, Euler découvre la formidable identité.

Cinq constantes fondamentales reliées entre-elles.

 

 

Une formule qui en découle:

 

Voir Calcul de la valeur de 1infini

En fait, Euler découvrit plutôt la formule:

En remplaçant x par Pi:

On a aussi:

(valeur à 2Pi près)

Pour information sur le mode de calcul:

 

Valeur de Pi en imaginaire

 

Patrick Even propose une bien belle façon de transformer la formule d'Euler. Elle donne à Pi une valeur avec les imaginaires.

 

 

Patrick illustre la formule avec ce graphique.

 

 

Voir cercle trigonométrique

Voir Exponentielle / Constante Pi et Euler  / De Moivre / Trigonométrie / Logarithme de nombre négatifs

Approximation incluant le nombre d'or

 

 

 

E puissance i Pi

*    Un nombre irrationnel (Pi) à une puissance irrationnelle qui donne un nombre rationnel et même entier !

*    Et que pourrait donner un nombre imaginaire à une puissance imaginaire: un nombre réel!

*    Calculons avec Pi / 2.

(formule d'Euler)

*    Élévation à la puissance i

Avec De Moivre:

                 = 0,207 879 5 …

 

Voir Multi-valeurs de ii

 = 0,2078795763 5076190854 6955619834 9787700338 7784163176 9608075135 8830554198 7728548213 9788600277 8654260353

 (100 décimales).

 

N'est-ce pas curieux de voir l'imaginaire à ce point puissant pour se reconvertir (renaître) en réel ?

 

Voir Constantes

 

 

Table des valeurs des puissances avec les imaginaires et leurs correspondances exponentielles

Les valeurs en i sont une des possibilités, car les fonctions exponentielles imaginaires sont multi-valeurs.

 

Voir Tables – Index

 

 

 

Quelques puissances avec au moins 3 décimales

 

Voir Exponentielles d'exponentielle

 

Comment évoluent les puissances en étage

 

 

 

Voir Puissances à étages

 

 

Racines de l'imaginaire

 

 Calcul de racine de i

Prenons un nombre complexe dont le carré vaut i: (a + ib)² = i

En développant: a² - b² + 2 iab = i (avec i² = -1)

En égalant parties réelles: a² - b² = 0 et a = b

En égalant parties imaginaires: 2iab = i et 2ab = 1 = 2a²

Valeur de a et de b: a = racine de ½ = 0, 70710…

 

Valeurs

 

 

Illustration

 

*    Prendre la racine carrée de i consiste à effectuer une rotation d'un demi-quart de tour dans le sens horaire.

 

 

Racine carrée de fractions de l'imaginaire

Formule générale

Exemples

 

 

Racine carrée des multiples de l'imaginaire plus 1

Formules générales

Exemples

 

 Voir Nombres complexes conjugués

 

 

Suite

*         Puissance complexe

*         Multi-valeurs des puissances complexes

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Voir

*         Constantes

*         Construction de l'heptagone

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*         Nombre de Gauss

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Site

*         Complex exponentiation – Wolfram MathWorld

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