NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres complexes

 

Débutants

Complexes

PUISSANCE

 

Glossaire

Complexe

 

 

INDEX

 

Complexes

Réelle

Imaginaire

Complexe

 

Sommaire de cette page

>>> Puissance entière de i

>>> Puissance complexe de i

>>> Formule d'Euler

>>> E puissance i Pi

>>> Table des valeurs des puissances avec les imaginaires

>>> Autres puissances avec i

>>> Racines de l'imaginaire

 

 

 

 

 

Nombres complexes

PUISSANCE DE L'IMAGINAIRE

 

Généralement l'élévation à la puissance est à bas d'entiers, voire de fractionnaires. Peut-on imaginer élever un nombre à une puissance imaginaire, voire un nombre imaginaire à une puissance imaginaire ? …

Que vaut i à la puissance i ?

Voir Calculs ave i

 

 

 

Puissance entière de i

 

*    En multipliant 1 par i, puis le résultat par i, on saute du monde imaginaire au monde réel, qu'ils soient positifs ou négatifs.

*    Après quatre multiplications, on a fait un tour complet.

 

i2   =   – 1

i3   =   – i

i4   =     1

 

Selon la puissance de i

 

 

 

 

Exemples

i100 = i 25 x4    = 1

i101 = i 25 x4 +1 = i

 

Puissance complexe  de i

 

 

*    Ce tableau se poursuit vers la droite avec une répétition modulo 4. Avec a  = 4, on retrouve la colonne a = 0.

 

Voir Logarithme des complexes

 

 

Formule et identité d'Euler

*    En 1748, Euler découvre la formidable identité.

Cinq constantes fondamentales reliées entre-elles

 

 

*    En fait, Euler découvrit plutôt la formule:

En remplaçant x par Pi:

Voir Exponentielle / Constante Pi et Euler  / De Moivre / Trigonométrie / Logarithme de nombre négatifs

Approximation incluant le nombre d'or

 

 

 

E puissance i Pi

*    Un nombre irrationnel (Pi) à une puissance irrationnelle qui donne un nombre rationnel et même entier !

*    Et que pourrait donner un nombre imaginaire à une puissance imaginaire: un nombre réel!

*    Calculons avec Pi / 2.

(formule d'Euler)

*    Élévation à la puissance i

Avec De Moivre:

                 = 0,207 879 5 …

 = 0,2078795763 5076190854 6955619834 9787700338 7784163176 9608075135 8830554198 7728548213 9788600277 8654260353

 (100 décimales).

 

N'est-ce pas curieux de voir l'imaginaire à ce point puissant pour se reconvertir (renaître) en réel ?

Voir Constantes

 

 

Table des valeurs des puissances avec les imaginaires et leurs correspondances exponentielles

Les valeurs en i sont une des possibilités, car les fonctions exponentielles imaginaires sont multi-valeurs.

 

Voir Tables – Index

 

 

 

Quelques puissances avec au moins 3 décimales

 

Voir Exponentielles d'exponentielle

 

Comment évoluent les puissances en étage

Voir Puissances à étages

 

 

 

Racines de l'imaginaire

 

Valeurs

 

 

Illustration

 

*    Prendre la racine carrée de i consiste à effectuer une rotation d'un demi-quart de tour dans le sens horaire.

 

 

 

 

 

Suite

*         Puissance complexe

*         ComplexesIndex

Voir

*         Constantes

*         Construction de l'heptagone

*         Inventaire des types de nombres

*         Nombre de Gauss

*         NombresGlossaire et index

*         Nombres d'Eisenstein

*         Nombres périodiques

*         Nombres réels

*         Puissances et racinesIndex

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