NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

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Les dérivées usuelles

Première

Exemples résolus

Crocodile et zèbre

 

Sommaire de cette page

>>> Problème

>>> Résolution

>>> Vérifications

 

 

 

DÉRIVÉES – Exemple avec racines

 

Célèbre problème poser à des étudiants écossais et considéré comme trop difficile; d'ailleurs objet d'une pétition (presse d'octobre 2015).

 

 

Le crocodile et le zèbre

 

Problème

 

Le zèbre est à 20 mètres du crocodile, mais de l'autre côté de la rivière.

Sachant que la vitesse du crocodile est différente sur terre et dans l'eau, calculer la distance x au point P tel que le crocodile minimise son temps pour atteindre le zèbre.

 

Le temps en fonction de x est connu en dixièmes de secondes par la formule:

 

 

 

Résolution

Calcul des points extrêmes

(en fait, demandé dans l'énoncé original).

L'optimum est atteint lorsque la dérivée de T(x) est nulle.

Rappel de la dérivée d'une racine

- la puissance devient coefficient (1/2);

- la nouvelle puissance est égale à l'originale moins un (soit -1/2); et

- la dérivée de l'expression sous la racine est multiplicative.

 

Notre expression en introduisant une puissance fractionnaire:

Sa dérivée:

Mise en forme et égalisation à 0 pour trouver l'optimum.

 

Passage au carré et calculs.

25x² = 16 (36 + x²)

   9x² = 576

      x= 8

L'optimum est atteint pour x = 8 et pour 9,8 seconde; un peu moins que dans les deux cas extrêmes.

 

Vérifications

 

Variation de la fonction

Le point x = 8 est bien un minimum.

Graphe

 

 

 

Les trois problèmes récents présentés par la Presse de 2015

*    L'anniversaire de Cheryl – Problème soumis à des élèves de Singapour dans le cadre d'une olympiade de mathématiques (avril 2015).

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*    Calcul du serpentin arithmétique posé aux élèves de CE2 vietnamiens (mai 2015).

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Arithmet/Pannum_fichiers/image016.jpg

*    Le crocodile et le zèbre – Énigme posée lors d'un examen à des lycéens écossais (octobre 2015).

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Suite

*    Dérivées

*   Dérivées - Autres exemples résolus

*    Intégrale – Approche avec 1/x

*    Primitive

*    Le chien et le cheval – Problème semblable:

Voir

*    DérivéesGlossaire

*    Équations différentiellesGlossaire

*    Infinitésimaux

*    Physique en seconde

*      VitesseGlossaire

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