NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Problème

>>> Solution

>>> Graphe

 

 

 

Le cheval qui sauve le chien

 

Un problème qui permet d'aborder plusieurs notions:

*      les vitesses,

*      le minimum d'une fonction, et

*      la loi de la réfraction en physique.

 

 

 

Énigme du chien et du cheval

 

*    Le héros (en A) veut porter secours à son chien dans les marécages (en B), sachant que son cheval y progresse une fois et demi plus lentement que sur la terre ferme.

*    Quelle est la route la plus rapide pour sauver le chien à temps?

 

 

On donne: AA' = A'B'= BB' = 1

On pose: A'M = x et v, la vitesse dans le marécage

 

 

 

Solution

Temps de parcours

à minimiser

t = tAM + tMB

 

En multipliant par 1,5 v, une constante. Le problème revient à minimiser F.

1,5 v . t = AM + 1,5 MB = F

Évaluation des distances

AM² = 1+ x²

MB² = 1 + (1-x)² = 2 – 2x + x²

Expression de F

F =   

 

Sa résolution donne la valeur minimale de x

Fmin = 2, 781245361…

pour

x = 0,6231997971…

 

 

Résolution graphique

 

*    Tracé de la fonction F pour l'intervalle [0,1] .

*    Le minimum se situe légèrement après x = 0,6

*    Tracé de la fonction F pour l'intervalle [0,622 à 0,624] .

*    Le minimum se situe légèrement en x = 0,6232

 

 

 

*    La valeur en y (ordonnée) donne F = 1,5 v . t = 2,781… Si la vitesse v dans les marécages est égale à 1, le temps mis pour aller de A à b sera égal à t = 2,781…/1,5 = 1,854 …

 

 

 

Angles

 

 

tan alpha =

alpha =

sin alpha =

0,623 …

0,557… = 31,62…°

0,528…

tan béta =

béta =

sin béta =

1 – 0,623 …

0,360… = 20,65…°

0,352…

sin alpha / sin béta =

1,5

 

Le rapport des sinus des angles est égal au rapport entre les vitesses.
 

 

Bilan

Il est curieux de trouver un problème de ce type qui, en fait, ressemble aux problèmes d'optique et dont la résolution fait appel aux lois de la réfraction de Descartes .

 

 

 

 

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