NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 08/01/2010

Débutants

Général

SUITES de NOMBRES  QUANTITÉ

Glossaire Général

 

DENSITÉ d'une suite

de NOMBRES

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Nombres carrés

>>> Nombres premiers

>>> Coins matheux

 

 


 

 

DENSITÉ

  

*      La densité des nombres d'un type A parmi d'autres du type N est la proportion des uns (A) parmi les autres (N).

*      On pourrait aussi l'appeler:

*    fréquence des éléments A parmi les éléments de N

*    probabilité qu'un élément de N soit dans A

*    L'ensemble N de comparaison est souvent l'ensemble des nombres entiers.

Voir Nombres entiers / Ensembles

 

 

 

APPROCHE

 

*    Dans la suite des nombres jusqu'à 10, la moitié d'entre eux sont pairs. La densité des nombre pairs est égale à un demi.

*    Cette propriété s'étend sur n'importe quelle plage et jusqu'à l'infini. Une telle densité appliquée jusqu'à l'infini est appelée densité limite.

 

 

{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

Densité de ces nombres pairs = ½

 

 

 

{ 1, 2, 3, 4, 5, 6,   }

Densité des nombres pairs jusqu'à l'infini = ½

 

Densité limite:

*      des nombres pairs = 1/2

*      des nombres impairs = 1/2

*      des nombres divisibles par 3 = 1/3

*      des nombres divisibles par 4 = 1/4

*     

*      des nombres divisibles par d = 1/d

 

 

Nombres CARRÉS

 

Théorème

 

La densité limite de l'ensemble infini des nombres carrés est nulle.

 

Dit autrement

 

*    Plus les nombres sont grands, plus il est rare d'y trouver un carré.
Ce qui semble assez évident pour les carrés. Mais ce qui montre qu'une séquence de nombres peut avoir densité nulle.

*    On dit qu'il y a raréfaction des nombres carrés.

 

Densité des nombres carrés

 

{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 … }

Densité limite = 0

 

Observation

 

n

0

1

4

9

16

25

36

49

64

Qté

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

 

La quantité de carrés jusqu'à n est égale à la racine de n plus 1.

 

 

Démonstration

Nous savons que la quantité de carrés est égale à .

La densité est le rapport de cette quantité de carrés à celle des nombres entiers.

 

Or ce rapport tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

 

 

 

NOMBRES PREMIERS

 

*    L'ensemble des nombres premiers est étrange. L'intervalle entre deux nombres premiers est assez erratique: parfois 2 pour les jumeaux, parfois très, très grand.

*    Mais, à les compter, il apparaît qu'ils sont de moins en moins nombreux lorsque les nombres croissent.

*    Et pourtant:

 

Théorème de raréfaction de Legendre (1808)

 

La densité limite de l'ensemble infini des nombres premiers est nulle.

 

 

Densité des nombres premiers

 

{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 … }

Densité limite = 0

 

Quantité de nombres premiers

*      de     0 à   99:             25

*      de 100 à 199:             21

*      de 900 à 999:             14

*      de 109 à 109 +100:       7

*      de 1015 à 1015 +100:    2

*      etc.

 

Cette quantité est notée:

Et la densité:

 

Théorème en formule

 

Suite en Quantité de nombres premiers

 

Coin matheux

 

*    La densité limite ou densité arithmétique de A dans N est la proportion des nombres de A présents parmi tous les entiers.
 

*    Elle s'exprime par la formule ci-contre.

 

 

Généralisation

Une définition plus précise, dite de Schnirelmann,  permet de construire des théorèmes et de poursuivre les investigations sur les nombres. Notamment sur la partition des nombres en sommes de puissances: les quatre carrés ou Waring.

 

 

Densité

 

Qui se lit: la densité arithmétique des nombres de l'ensemble A est égale à la limite quand N tend vers l'infini du rapport à N de la quantité de nombres dans A. Cette quantité s'exprime par le cardinal de l'ensemble intersection entre l'ensemble des nombres dans A et ceux dans N. Notez que cardinal est un mot de maths qui veut dire grosso modo "quantité".

 

Exemple de calcul sur les densités

 

 

 

 

 


 

Suite

*    Quantité de nombres premiers

Voir

*    Nombres premiersIndex

*    Suites typiques

*    Suite harmonique

Livre

*    Merveilleux nombres premiers -
Voyage au cœur de l'arithmétique -
Jean-Paul Delahaye -  Belin, Pour la science – 2000