NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Nombre

Insolites / Divers

 

Glossaire

Nombre

 

 

INDEX

 

Nombre

 

Formes et motifs

 

Nombre 24

Nombre 33

Nombres 37 et 38

Nombre 42

Nombre 100

 

Sommaire de cette page

>>> Le 33 du docteur matheux (selon Geluck)

>>> Faire 33 = a3 + b3 +c3

>>> Tableau des solutions pour n de 0 à 100

>>> Les récalcitrants: grands nombres ou inconnus

>>> Repdigits en 3 et somme de cubes

>>> Somme de trois cubes mod 9

 

 

 

 

 

 

Nombre 33 insolite

 

Comment dire 33 en humour ou en trois cubes?

*       Comment l'humorisme Geluck voit le nombre 33.

*       Problème du 33 en somme de trois cubes: solution encore inconnue.

Développements sur le nombre 33 (DicoNombre)

 

 

 

 

Le 33 du docteur matheux selon Philippe Geluck

Dessin extrait de La mathématique du chat (Texte mathématique de Justens, illustré par Geluck)

Formule explicitée et calculée

Suppression des parenthèses inutiles

Premiers calculs

Suite et fin

Voir CalculsIndex / Humour

 

 

 

Faire N = a3 + b3 +c3

 

Problème de la somme de trois cubes / Sums of three cubes problem or puzzle

Nombre égal à la somme de trois cubes / Integer equal the sum of three cubes

 

Un problème facile à poser, mais très difficile à résoudre dans le cas général.

 

 

Disons le tout de suite pour N < 101, on ne connait pas encore de solution pour N = 33, 42 et 74.

 

Pour 33, chacun des a, b, c > (1014)3

Pour les nombres N de 1 à 100

   (Objet de notre étude).

 

Si N est un cube, la somme comporte deux 0, comme 8 = 00 + 00 + 23

Certains nombres sont somme de deux cubes, comme 7 = 13 + 23

 

 

Les nombres a, b, c peuvent être positifs ou négatifs.

 

Sur les huit cas possibles seuls quatre cas sont originaux; les quatre autres donnent la valeur négative de N.

 

Les valeurs de a, b et c sont croissantes (permutations possibles avec la même valeur de N):

 

 

 

On démontre que certains nombres sont inaccessibles avec la somme de trois cubes, comme 4, 5, 13, 14, …

 

 

du fait que

Explications >>>

On conjecture qu'il y a au moins une solution pour tous les autres cas.

 

Vers 2011, suite aux travaux d'Huisman (Lyon), seules 23 cas restent non résolus:

33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, et 975 pour une exploration des nombre jusqu'à 1015.

On connait des solutions paramétriques conduisant à une infinité de solutions pour certains nombres. C'est le cas pour N = 1 ou N = 2.

 

 

Ex: m = 1

103 + 93 – 123 = 1000 + 729 – 1728 = 1

    73 – 53 – 63 = 2

 

 

Solutions: elles sont assez simples pour une grande majorité des nombres jusqu'à 100. Programmation simple et quelques minutes de calcul.

Un peu plus long pour quelques cas récalcitrant …

La recherche des solutions a passionné quelques personnes (voir références in fine). Le calcul devient vite long et l'enjeu consiste à optimiser la programmation.

 

Tableau

 

Certains nombres sont présentés avec plusieurs solutions.

Toutes les présentations pour a, b et c jusqu'à 10 sont présentes.

 

 

Signes: ppm indique que a et b sont positifs et c est négatif

N de 0 à 100; en bleu, les nombres inaccessibles; en jaune les nombres dont on ne connait pas de solution; en blanc avec le renvoi en fin de page >>> pour les solutions avec grands nombres.

 

 

Tableau des solutions pour n de 0 à 100

 

 

Les récalcitrants: grands nombres ou inconnus

Le cas N = 30 n'a été trouvé qu'en 1999, par exemple.

Pour 33, 42 et 74, (a, b, c) > 1014

Voir Tables / Somme de cubes

 

Nouveautés

Le cas 74 est désormais connu:

74 = (−284 650 292 555 885)3 + 66 229 832 190 5563 + 283 450 105 697 7273

 

 

 

Repdigit en 3

Voir Repdigits

 

 

Somme de trois cubes mod 9 – Explications

 

Cube modulo 9

 

*      Restes de la division par 9 (soit mod 9)

*      ou en prenant les valeurs plus proches en négatif

*      Au cube

*      Leur reste avec division par 9

 

 

 

 

{0, 1, 2, 3, 4,   5,   6,    7,   8}

{}

 

{0, 1,   8, 27, 64, –64, –27, –8, –1}

{0, 1, –1,   0,    1,    –1,    0,   1,  –1}

 

 

 

Somme de trois cubes modulo 9

 

Cas extrêmes où les trois cubes sont tous  à -1 ou tous à +1.

 

Un nombre N en 9k + 4 ou en 9k + 5 n'est jamais somme de trois cubes.

 

 

 

 

 

 

La somme de trois cubes ne donne jamais –4 ou +4 mod 9.

 

Retour / Voir Cubes mod 9

 

 

 

 

Suite

*       Nombre 33 sur la calculette

*       Nombres cubesIndex  

*       Nombres en 4 fois 4 – Énigme des quatre 4

*       Nombres 37 et 38

Voir

*       Cent avec tous les chiffres

*       Factorielle

*       Puissance

*       Théorème de Fermat-Wiles

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DicoNombre

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*       Nombre 74

*       Nombre 333

Sites

*       Math is fun forum (anglais)

*       Integers equal to the sum of three cubes – Chaitanya

*       Threecubes – D.J. Bernstein

*       The Uncracked Problem with 33 – Numberphile

*       Never sums of three cubes – Sander G. Huisman

Cette Page

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/Nb0a1000/N33.htm