NOMBRES

 - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 24/10/2011

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique

                                                                    

Type de nombres

 

Débutants

Nombres

Nombres congruents

 

Glossaire

Nombres

 

 

 

INDEX

Nombres

Présentation

Valeurs

Propriétés

Historique

Formule

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Définition

>>> Commentaires

>>> Anglais

 

 

NOMBRES CONGRUENTS 

 

Nombres entiers mesurant l'aire de triangles rectangles dont les côtés ont des mesures entières ou rationnelles.

 

 

Oui! Un petit air de famille avec les triplets de Pythagore

 

 

La terminologie n'est pas très appropriée. Elle remonte à Fibonacci qui parlait de congruence au sens latin de congruere: concorder, aller ensemble. >>>

  

 

Approche

 

Deux triangles en exemple

 

*      Le célèbre triangle 3456 est un exemple concret engendrant un nombre congruent.

*      Ses côtés sont des nombres rationnels (même, des entiers: 3, 4 et 5) et son aire (6) est également un nombre entier.

 

Le nombre 6 issu de telles propriétés est dit nombre congruent.

 

 

Voir Triangle isiaque

 

*      Voici un exemple avec des nombres fractionnaires: 3/2, 20/3 et 41/6 qui donne le nombre congruent le plus petit: n = 5.

 



Voir Liste

 

 

Définition d'un nombre congruent

 

Définition classique

 

*      Un nombre congruent n est un nombre entier qui est l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés sont des nombres rationnels (des fractions).

 

Si a, b et c sont les mesures des côtés du triangle rectangle, avec c pour l'hypoténuse, alors un nombre congruent n est tel que le système suivant:

a des solutions avec n entier et a, b et c des rationnels.

 

Définition équivalente

 

*      Les nombres sont les entiers naturels n tels qu'il existe trois entiers, ou fractions d'entiers, u, v, w dont les carrés diffèrent de n :

 

Les trois carrés forment une progression arithmétique, comme par exemple

*       1²,     5² et     7² avec un écart de         24, ou

*       1²,   29² et   41² avec un écart de       840, ou encore

*       1², 169² et 239² avec un écart de 28 560. 

 

*      En soustrayant les deux identités, on obtient une nouvelle relation:

u² + n – v² – n = v² – w²

u² + w² = 2 v²

Ce qui veut dire qua la recherche des nombres congruents consiste aussi à trouver les sommes de deux carrés qui égalent le double d'un carré.

Suite >>>

 

 

Autres définitions

 

*      Celle citée par Wolfram avec quatre paramètres >>>

*      Celle associant une courbe elliptique >>>

 

Voir Propriétés des nombres congruents

 

 

 

Commentaires

 

 

*      Un nombre congruent multiplié par un carré engendre un nouveau nombre congruent. Même chose si on divise par un carré. Le nombre 20 est congruent, alors 20/2² = 5 est aussi un nombre congruent.

 

Un nombre congruent sans facteur carré est dit primitif. Il est d'usage de ne considérer comme nombres congruents que ceux sans facteur carré.

 

*      Un triangle rectangle dont tous les côtés sont des nombres rationnels est dit rationnel. Ce n'est pas toujours le cas: le triangle a = 1 et b = 1 donne c = ; il n'est pas rationnel.

*      L'aire d'un triangle rationnel est rationnelle (1/2 a.b), mais forcément entière.

*      Si n est un nombre entier, aire d'un triangle rectangle rationnel, n est un nombre congruent

*      Tous les nombres entiers ne répondent pas à une telle propriété. Le nombre 1 n'est l'aire d'aucun triangle rectangle rationnel (Fermat).

 

Voir Liste

 

 

English corner

The question of determining whether a given rational number is a congruent number is called the congruent number problem.

 

An integer n is a congruent number if there exists a right triangle with rational sides so that the area of the triangle is n.

 

One of the oldest unsolved problems in mathematics is to determine the congruent numbers.

 

In number theory, one often comes across problems which arise naturally and are easy to pose, but whose solutions require very sophisticated methods. What is known as "The congruent number problem" is one such. Its statement is very simple and the problem dates back to Antiquity, but it was only recently that a breakthrough was made, thanks to current developments in the arithmetic of elliptic curves.

 

 

*        i.e. id est, c'est-à-dire.

*        To come accross: tomber sur.

 

*        To pose: poser (un probleme).

 

*        Statement: énoncé.

*        To date back: remonter à.

*        Breakthrough: percée.

 

 

Suite

*    Nombres congruents – Valeurs

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Briques de Pythagore

*    Congruence, modulo

*    PythagoreBiographie

*    Triangle de Pythagore

*    Triangle rectangle

Diconombre

*    Nombre 5

*    Nombre 6

*    Nombre 7

Sites

*    Triangles pythagoriciens - Nombres congruents - Courbes elliptiques (inclus un calculateur de nombres congruents)

Cette page

*    http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPADD/Congruen.htm