NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Puissances

 

 

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Partition

 

Puissances

 

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Briques

 

Sommaire de cette page

>>> Brique d'Euler

>>> Pavé parfait et brique parfaite

 

 

 

 

 

 

Brique d'Euler et Brique parfaite

 

On considère le parallélépipède, ses dimensions et toutes ses diagonales. Il est parfait si toutes ses mesures sont des nombres entiers ou alors simplement brique d'Euler si la grande diagonale manque à l'appel.

 

 

 

BRIQUE d'EULER

 

Définition et exemple

 

*    Brique (parallélépipède rectangle) de dimensions telles que:

 

x² + y² = a²

y² + z² = b²

z² + x² = c²

Tous ces nombres étant des nombres entiers.

 

*    Plus petite brique d'Euler , découverte en 1719 par Paul Halke:

 

x = 44, y = 117, z = 240

 

*    Euler a trouvé une formule produisant de telles brique, sans les donner toutes.

 

 

Calcul avec le théorème de Pythagore

x² + y² = a²

= 44² + 117 ²

= 1936 + 13689

= 15625

= 125²

y² + z² = b²

= 117² + 240²

= 13689 + 57600

= 71289

= 267²

z² + x² = c²

= 240² + 44²

= 57600 + 1936

= 59536

= 244²

 

Autres exemples

Conditions

 

*    Une des longueurs d'arête, au moins, est de la forme 11k

*    Condition nécessaire, pas suffisante.

 

Propriétés

*    Si les dimensions sont des nombres premiers entre eux, la brique d'Euler est primitive.

*    Si (a, b, c) est une solution, alors (ka, kb, kc) est aussi une solution de sorte qu'une solution rationnelle peut toujours être transcrite en solution entière.

*    Si (a, b, c) est une solution, alors (bc, ac, ab) est aussi une solution.

 

Anglais: parallelepiped

 

 

Pavé parfait & brique parfaite

 

On va examiner les cas de:

*    la brique "quelconque" parfaite, puis de

*    la brique droite parfaite, et enfin de

*    la brique droite presque-parfaite.

 

Parallélépipède quelconque

les trois dimensions, les diagonales de face et les grandes diagonales sont des nombres entiers. Soit 3 + 6 + 4 valeurs en nombres entiers.

 

Note: le pavé étant quelconque (angle pas à 90°), les grandes diagonales sont toutes de longueurs différentes. De même, pour chacune des deux diagonales d'une face.

 

 

Richard Guy avait posé la question de l'existence d'un tel pavé.

 

En 2009, Clifford Reiter et Jorge Sawyer en découvre un grand nombre par exploration systématique sur ordinateurs, dont celui du tableau.

 

Note: Inutile de vérifier avec le théorème de Pythagore, les angles ne sont pas de 90°.

 

 

 

Définition vectorielle du pavé

Les vecteurs définissant ce pavé sont les suivants:

 

Calcul des normes (longueurs) des vecteurs

 

 

Parallélépipède droit

 

Avec deux faces rectangulaires, on connait quelques pavés parfaits.

 

Par contre, pour le pavé droit parfait (brique parfaite), on n'en connait aucun et on ne sait pas s'il peut exister. En tout cas, la plus petite arête est supérieure à 3000 milliards.

 

Conditions d'existence:

*    les arêtes doivent être en 5k, 7k, et la troisième en 11k;

*    l'une d'elle doit être aussi en 19k;

*    l'une d'elle ou la grande diagonale doit être ne 13k;

*    l'une d'elle ou une diagonale de face ou la grande diagonale en 17k;

*    idem en 29k; et

*    idem en 37k.

 

 

 

Parallélépipède droit presque-parfait

 

Arêtes (672 / 153 / 104)

Diagonales de face (689,19 / 680 / 185)

Grande diagonale (697)

 

Arêtes (18 720 /  / 7 800)

Diagonales de face (23 711 / 16511 / 20 280)

Grande diagonale (24 961)

 

Anglais: perfect parallelepiped / perfect cuboid or perfect box

 

 

 

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Sites

*    Perfect Parallelepiped Exist – Jorge Sawyer, Clifford Reiter

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