NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PYTHAGORE

 

Glossaire Général

 

Sommaire de cette page

>>> Pythagore

>>> Philosophie & arts

>>> Maths

>>> Sciences & musique

>>> réalités ou légendes

 

 

pythagore

 

 

 

 

 

Mysticisme des nombres

« Tout est nombre »

Les nombres sont le principe des choses, de l’harmonie universelle.

 

  Tout un édifice …

 Avec des imperfections!

*       10 = 1+2+3+4 est sacré

*       fractions (commensurabilité)

*       nombre d'or dans l'étoile à 5  branches

*       gamme musicale

*       sphères célestes

*       0 est à rejeter

*       2 ne doit pas être dévoilé

 

Voir Everything is number – Citations

 

 

 

 

 

PYTHAGORE

vers 570 / 480 av. J.-C. - 90 ans

Selon le Larousse (il existe de nombreuses autres dates)

Mémorisons – 500

 

Philosophe et mathématicien grec

responsable d'importants développements en

mathématiques, astronomie et musique

 

*    Vie peu connue: figure mythique.

*    Œuvres connues que de façon indirecte.

*    Parmi ce qu'il a fait:

*      Affirme que la Terre et une sphère;

*      La pensée nait dans le cerveau et non dans le cœur;

*      Invente les mots "philosophie" et "mathématiques";

*      Démontre le théorème qui portera son nom: a² + b² = c². C'est certainement la première démonstration de l'histoire;

*      Défend la beauté tout autant que la logique es nombres;

*      Croyance mystique accordée aux nombres: musique, nature, cosmos …

 

Biographie

*    Né sur l'île de Samos comme Archimède.

Proche de côtes turques en face de la Grèce.

*    À 18 ans participe aux Jeux Olympiques.

Voyage en Syrie, Égypte (20ans), Babylone (12 ans), et Inde (sans doute).

*    À 40 ans (environ), il retourne à Samos où règne le tyran Polycrate; il s'exile dans une caverne.

*    Il part ensuite pour Crotone dans le sud de l'actuelle Italie (Calabre).

*    Sous la protection de Milon, un richissime habitant, il fonde une Fraternité proche d'une secte.

*    Il se marie avec Théano, une de ses élèves, la fille de son protecteur.

*    Un candidat recalé Cylon, pour se venger, attisa la population de Crotone pour détruire la Fraternité. Pythagore et plusieurs de ses disciples y périrent.

*    Mort à Métaponte.

Ville alliée de Crotone, proche de Tarente.

 

 

Lieux

 

               

Voir Carte complète

 

 

Contemporains de Pythagore

 

Zarathoustra

Zoroastre

En Perse (Iran)

=> Les Parsis en Inde

628-551 av. J.-C.

Lao-Tseu

 Laozi

Philosophe taoïste chinois

Un peu plus âgé

que Confucius

Bouddha

Sage indien

Parvenu à l'éveil (bodhi)

560-480 av. J.-C.

Confucius

 Kongzi

Sage chinois

551-479 av. J.-C.

Voir Contemporains – Chronologie

 

 

 

Anglais : Pythagoras, the Pythagoreans

 

Philosophie et Art

 

*    Philosophe: celui qui cherche à découvrir les secrets de la nature de façon désintéressée.

*    Pythagore invente le mot et se définit comme philosophe.

 

*    Il fonde une confrérie basée sur les mathématiques:

*    appelée: École de Pythagore ou Fraternité pythagoricienne

*    association scientifique, philosophique, politique et religieuse avec règles de vie et d'éthique.

*    Philosophes qui veulent expliquer le monde par les mathématiques et le nombre.
 

*    Ses disciples s'appelaient les mathématiciens.

*    Mathématique signifiant en grec ancien, la science, ce qu'on enseigne ou qu'on apprend.

*    Les textes sont secrets, accessibles que par les initiés.

*    Et tout en oral: il fallait une bonne mémoire.

*    Deux catégories de disciples:

*    Acousmaticiens  (auditeurs) qui n'avaient que les résultats,

*    Mathématiciens: résultats et démonstrations.

 

*    Il donne une interprétation mystique aux nombres attribuant

*    un nombre à chaque chose,

*    une correspondance entre les nombres et les mécanismes de la nature.

*    Mysticisme des nombres: « Tout est nombre ». Les nombres sont le principe des choses, de l’harmonie universelle

 

*    Adepte de la métempsycose:

*    Renaissance, réincarnation et plusieurs vies;

*    Transmigration des âmes, doctrine d'origine indienne.

*    Activités politiques:

*    Contre l'anarchie.

*    Pour théocratie, aristocratie, conservateurs.


 

Maths

Arithmétique

*    Les Pythagoriciens développent l'arithmétique et furent, selon Aristote,

*    Les premiers qui firent progresser les mathématiques

Nombres

*    Tout est nombre: entier ou fraction

*    Tout dans la nature se ramène à un nombre

Pair Impair

*    Spéculations autant mystiques que scientifiques

Décade de Pythagore

*    Il donne une interprétation mystique aux nombres attribuant un nombre à chaque chose:

Zéro

*    Refus

*    du zéro qui n'avait pas de représentation géométrique

On ne peut pas dessiner un carré dont l'aire est 0

*    également et par conséquent, du vide

Dix

*    Nombre sacré:

*    Symbolise les pouvoirs divins

*    Nombre triangulaire

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Table de Pythagore

*    Table de multiplication à double entrée

X

1

2

3

4

5

1

1

2

3

4

5

2

2

4

6

8

10

3

3

6

9

12

15

 

Voir Table en DicoMot Math

Nombres figurés

*    Les nombres sont figurés par des assemblages de points: triangle, carrés, pentagone...

Irrationnel

*    La diagonale du carré ne contient pas un nombre entier de fois le côté

*    Du coup, la nature n'attribuerait pas forcément un nombre entier (ou une fraction) à toute chose!

*    Crise suite à cette découverte de l’incommensurabilité de la diagonale du carré (2)

*    Cette découverte est attribuée à Hippase de Métaponte

*    Il divulgue sa découverte

*    Et, péri dans un naufrage.

Nombres parfaits

Nombres amicaux

*    Somme des diviseurs redonne le nombre

*    Somme des diviseurs de l'un donne l'autre

Théorème de Pythagore

Triplets de Pythagore

*    Connu bien avant lui par les Babyloniens

*    Un triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle (triangle isiaque)

et en général pour un triangle rectangle:

c² = a² + b²

*    On ne sait pas si Pythagore a démontré ce théorème qui porte son nom

*    On a tout de même sacrifié 100 bœufs (une hécatombe) aux dieux en  hommage à cette relation

Angle du triangle

*    Ils démontrent que la somme est égale à 180°

Solides platoniciens

*    Construction des 5 seuls polyèdres réguliers

Pentacle

*    Figure formée du pentagone et de l'étoile à cinq branches

*    On peut inscrire l'un dans l'autre à l'infini

*    Contient le nombre d'or de multiple fois

*    Emblème sacré des pythagoriciens

Nombre d'or

*    Découverte de ce rapport idéal

*    L'un des 10 rapports de la table d'harmonie des pythagoriciens

*    Le nombre d'or forme les plus belles figures

*    Mais, il présente un inconvénient majeur: il est irrationnel comme 2

Théorie des proportions

*    Rapport comparé entre la taille de objets: commensurabilité: fractions

Moyenne harmonique

*    Inventée par Hippase de Métaponte

1/m = 1/a + 1/b

Démonstrations

*    Ils sont les premiers à développer les démonstrations

*    Basées, il est vrai, sur des dessins à la règle et au compas

 

Sciences et musique

 

*    Théorie des intervalles musicaux et étude des astres.

*    Rapports entiers simples

*    Les Pythagoriciens extrapolent en pensant que le monde est le reflet des mathématiques

 

 

 

Musique

 

*    Les vibrations des cordes produisent des sons harmonieux

quand les rapports des longueurs des cordes sont des entiers

et cela est transposable à tous les instruments

 

*    Utilisation du monocorde pour développer leur philosophie

*    Monocorde: (sorte de tympanon) boîte de résonance avec une seule corde tendue et un chevalet mobile (sorte de capodastre)

*    Selon le rapport des distances, on obtient deux notes: une grave et une aiguë

 

*    Cas du milieu: les deux notes sont identiques à l'octave du son produit par la corde complète (le fondamental). L'octave correspond au rapport 1/2

 

*    Avec le rapport 1/3, l'autre côté étant 2/3, on obtient deux sons à l'octave l'un de l'autre puisque l'un des deux côtés est deux fois plus long que l'autre

 

*    Avec ce rapport, le côté 2/3, le plus long, "sonne bien" avec le son fondamental donné par la corde entière. L'intervalle obtenu entre les deux sons constitue la quinte, un accord très harmonieux

*    Pourquoi ne pas continuer pour obtenir d'autres sons harmonieux en recoupant chaque partie en 2/3

 

*    On obtient en effet deux nouvelles quinte à 4/9 et 8/9

Les rapports sont de la forme générale 2n / 3m

 

*    En pratique, on divise autant de fois que nécessaire jusqu'à ce que le rapport soit proche de 1 (il n'est malheureusement jamais égal à 1).


Voici quelques valeurs retenues dans l'histoire:

n

m

2n / 3m

Nom & correspondance

8

5

1,053497942

Pentatonique  => 5 touches noire du piano

11

7

0,936442615

Heptatonique =>  7 touches blanches du piano

19

12

0,986540369

Chromatique  =>  12 toutes les touches du piano

84

53

0,997914046

53 notes de la gamme des solfèges

1054

665

0,999956346

 

 

 

 

 

Sciences

*    Premier à classer les astres connus de l'époque:

Soleil, Lune, Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne

*    Selon leurs distances supposées à la Terre

*    Tentent d'accorder distances et périodes de révolutions,

*    Avec les intervalles musicaux,

*    Concept des sphères célestes et de leur mélodie.

*    Sa cosmologie est basée sur les nombres comme l'harmonie de la musique.

*    La Terre est une sphère

et non pas un disque flottant dans l'air,

comme dans le modèle d'Anaximandre.

*    Soleil, Lune et planètes

*    tournent autour de la Terre,

*    se déplacent sur des orbites harmoniques

*    en cercles concentriques attachés chacun à une sphère;

*    une sphère ultime supporte les étoiles fixes;

*    ces sphères émettent une mélodie de plus en plus aiguë pour les plus lointaines;

*    l'ensemble produit l'harmonie des sphères célestes.

*    Le premier à penser que les astres obéissent à des lois qui se concrétisent en nombres.

*    Pythagore invente le mot "cosmos" qui veut dire "ordre".

*    Le premier à reconnaître la même Vénus dans l'étoile du matin et du soir.

*    La lumière

*    est émise par des corps lumineux,

*    elle peut se réfléchir et

*    elle est vue lorsqu'elle entre dans l'œil.

 

Résumé

Les pythagoriciens ont généralisé des observations fortes sur l'harmonie musicale et sur l'harmonie des sphères en astronomie. Ils développent une théorie des contraires, basée sur l'opposition pair-impair (féminin-masculin, etc.). S'ils considèrent l'air, l'eau, le feu et la terre comme élémentaires, ce sont, dans leur conception des intermédiaires entre les nombres et les substances. Ils rattacheront les polyèdres à ces éléments, conception  qui sera reprise par Platon.

Claude Lécaille – L'aventure  de le chimie jusqu'à Lavoisier

– page 13 – Vuibert - 2004

 

 

 

 

Réalité ou légendes

Réincarnation

*    Pythagore se croit la réincarnation d'Euphorbe, un héros troyen.

Vie

*    Manger cru et végétarien.

*    Boire de l'eau.

*    Ne pas s'habiller de laine.

*    Faire l'amour en hiver.

Haricot

*    À proscrire:

donne des flatulences  et

ressemble aux organes génitaux.

*    Pythagore se serait fait tué plutôt que de traverser un champ de haricots pour s'enfuir.

Constitution

*    Pythagore aurait écrit la constitution en vigueur en Italie de l'époque.

Hippase

*    Il aurait été condamné à la noyade pour avoir révélé le secret de l'existence des nombres incommensurables.

 

 

 

 

Voir

*    Théorème de Pythagore – Démonstrations

*    Triplets de Pythagore

*    Briques de Pythagore

*    Décade de Pythagore

*    Années Pythagore

*    Triangle isiaque

Aussi

*    Contemporains de Pythagore

*    Nombres figurés - Débutants

*    Nombre figurés  - Index

*    Nombres parfaits

*    Nombres amiables

*    Carrés magiques

*    Formule de la relativité

*    Géométrie - Index

Sites

*    Pythagore - complet et illustré

*    Pythagore - Bibmath

*    Pythagore - Encyclopédie Agora

*    Pythagore - encyclopédie Yahoo

*    Pythagore - l'écran des maths

*    Pythagoras - from Eric Weisstein

*    Monocorde

Livre

*    Zéro - La biographie d'une idée dangereuse
Un bon tour d'horizon de l'histoire des maths
à travers du concept du zéro d'hier à aujourd'hui

*    La vie de Pythagore par Porphyre de Tyr.

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