NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Triangles

 

Débutants

Triangle

TRIANGLES RATIONNELS

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

 

Ésotérisme

 

Isiaques

Héroniens

Congruents

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle sacré

>>> Relations remarquables avec 3, 4 et 5

>>> Triangle isiaque

>>> Triangle des jardiniers

>>> Triangles voisins

 

 

 

 

TRIANGLE 3 - 4 - 5

 

ou triangle        SACRÉ (d'Isis)

ou triangle        ISIAQUE

ou triangle de   PYTHAGORE

ou triangle des ARPENTEURS

ou triangle des JARDINIERS

 

 

Introduction au triangle sacré

Ce triangle rectangle était bien connu de Pythagore, initié à la mythologie Égyptienne et à la cosmogonie de Sumer et de Babylone.

 

Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés.

5² = 4² + 3²

 

Avec, ici, une superbe coquetterie pour ce triplet de Pythagore; les trois nombres sont consécutifs. De plus, l'aire de ce triangle vaut 6 et son périmètre 7.

The triangle shown has its sides in the ratio 3 to 4 to 5

Any triangle with its sides in this ratio is a right triangle

3 – 4 - 5 is one example of the many Pythagorean triples

 

 

Relations remarquables avec 3, 4 et 5

Base horaire

3 + 4 + 5

= 12

Base angulaire (Babylone)

3 x 4 x 5

= 60

Nombre nuptial

3² x 4² x 5²

= 3 600

Triplets de Pythagore

3² + 4²

= 5²  = 25

Nombre du domaine bestial

33 + 43 + 53

= 63 = 6 x 6 x 6 = 216

Curiosité

33 x 43 x 53

                            = 216 000

Formule de perfection cubique

Puissance 2

32 + 42 + 52

= 50

= 1² + 7² 

= 5² + 5²

Puissance 3

33 + 43 + 53

= 216

= 15² -    

= 21² - 15²

= 29² - 25²

= 55² - 53²

Puissance 4

34 + 44 + 54

= 962

=   1² + 31² 

= 11² + 29²  

Puissance 5

35 + 45 + 55

= 4 392

=     6² +    66²  

=   79² -    43²

= 131² - 113²

= 189² - 177²

= 369² - 363²

= 551² - 547²

Puissance 6

36 + 46 + 56

= 20 450

= 1² + 143²   

= 41² + 137²

= 85² + 115² 

Puissance 7

37 + 47 + 57

= 96 696

= 311² -     

= 339² - 135²

= 385² - 227²

= 525² - 423²

= 745² - 677²

Puissance 8

38 + 48 + 58

= 462 722

=   41² + 679² 

= 259² + 629²

= 299² + 611²

= 449² + 511²

= 481² + 481² = 2 x 481²

Voir Pépites / Nombre 216

 

 

 

TRIANGLE ISIAQUE

 

Triangle en l'honneur de trinité égyptienne Osiris, Isis et leur fils Horus.

3 le mâle;

4 la femelle; et

5 le fruit de leur union.

 

Placé dans les pyramides des Égyptiens, plus exactement dans la chambre funéraire du pharaon.

Chez les Grecs, il paraît avoir été considéré comme le symbole du mariage.

Plutarque le dénomme le plus beau des triangles et rapporte que c'est à lui que les Égyptiens assimilaient la nature de l'univers

 

Livre de Isis à Osiris Chapitre 56

 

 

 

ISIAQUE. adj. Qui appartient à Isis, divinité égyptienne.

La table isiaque, célèbre monument de l'antiquité sur lequel sont représentés les mystères d'Isis.              Académie française

 

ISIS    Déesse de la fertilité et de la maternité

Première fille du dieu Keb (Terre) et de la déesse Nut (Ciel)

Sœur et femme d'Osiris, le juge des morts

Mère d'Horus (Jour)

 

Voir Don de Thot

 

 

 

Triangle des ARPENTEURS ou des JARDINIERS

 

Moyen pratique pour construire un angle droit.

 

On dispose d'une corde à 13 nœuds régulièrement espacés (12 intervalles!)

*    un pieu planté à l'endroit où l'on souhaite créer l'angle droit; on y place le nœud 5;

*    une personne au nœud 8 pour matérialiser un des angles; et

*    une deuxième personne pour fermer le dernier angle aux nœuds 1 et 13.

 

On note que seuls les nœuds 5 et 8 auraient suffi; les autres ont un intérêt à la construction, pour faciliter le respect de l'unité de distance.

 

Évidemment, il s'agit d'une construction approximative:

-      Positionnement des deux personnes;

-      Élongation de la corde;

-      Précision du placement des nœuds;

-      Sans parler de l'humidité du temps …

 

Voir Triangle du jardinier

 

 

 

Triangles voisins

 

Triangle de Pythagore

 Il est clair que tout triangle dans les proportions 3, 4 et 5 est aussi un triangle de Pythagore (ou isiaque):

 

5k² = 4k² + 3k²

Exemple avec k = 2:

10² = 8² + 6²

 

Les angles se calculent au moyen de la trigonométrie:

α = arcsin (3/5 ) = 36, 87 °

β = 90 – α =        53, 13 °

 

Aire du triangle:

A = 3k . 4k / 2 = 6k²

Périmètre du triangle:

P = 3k + 4k + 5k = 12k

 

 

 

Triangle 45 ou demi-carré

 

Triangle rectangle ayant un angle de 45 °

L'autre valant également 45 ° (90 – 45)

C'est évidemment;

un triangle isocèle;

rectangle isocèle même.

 

La longueur de l'hypoténuse se calcule avec le théorème de Pythagore:

h²= k² + k² = 2k²

h = k √2

 

Aire du triangle:

A = k . k / 2 = ½ k²

Périmètre du triangle:

P = k + k + √2k = k (2 + √2)

 

 

 

Triangle 30 – 60

ou triangle des écoliers (celui des équerres classiques)

ou triangle hémi-équilatéral (ou demi-équilatéral)

 

Triangle rectangle ayant un angle de 30 °. L'autre valant  60 ° (90 – 30).

Triangle remarquable car un des côtés mesure la moitié de l'hypoténuse.

Tout cela du fait que:

sin 30° = 1/2

L'autre côté mesure:

h .cos 30° = h . √3/2

 

Aire du triangle

A = h/2 . h/ 2 = √3/4 

Périmètre du triangle

P = h + h/2 + √3 h/ 2 = ½ h (3 + √3)

 

 

 

Triangle avec 3 et 4

 

Triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure 4 et l'un des côté 3.

Calcul des autres valeurs:

arcsin α = 3/4 = 48, 59037… °

β = 90 – α =     41, 40962… °

L3e côté = 4 sin β = √7 = 2, 64575…

 

On vérifie le théorème de Pythagore:

(√7)² + 3² = 7 + 9 = 16 = 4²

 

Curiosité:

Cotés de longueur       3 et 4    et

3e côté de longueur  √(3 + 4).

Aire du triangle:

A = 3√7 / 2

Périmètre du triangle:

P = 3 + 4 +  √7 = 7 + √7

 

 

Voir toutes les formules en  Résolution des triangles

 

 

 

 

Suite

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*    Triangles

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