NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Rubrique

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Introduction

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Triangles

Briques

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Avec un carré

 

Sommaire de cette page

>>> Triangles rectangles particuliers

>>> Triangles de même hypoténuse

>>> Périmètre

>>> Surfaces

>>> Cercles

>>> Curiosités

>>> Triangle entier

 

 

 

 

 

 

TRIPLETS de PYTHAGORE

TRIANGLES

 

 

Formation de triangles rectangles particuliers.

 

   

TRIANGLES PARTICULIERS

 

Les 2 plus petits à côtés entiers de même hypoténuse.

Côtés

1, 8

4, 7

Hypoténuse

65

√65

 

Les 2 plus petits à côtés entiers de même hypoténuse entière

Côtés

7, 24

15, 20

Hypoténuse

25

25

 

Les 2 seuls ayant cette

propriété: même aire et même périmètre

Triangle

6, 8, 10

5, 12, 13

Surface

24

30

Périmètre

24

30

 

Le plus petit triangle ayant cette propriété.

Triangle

119, 120, 169

 

Hypoténuse

169 =

13²

Côtés

120 – 119 =

 

Le plus petit triangle ayant cette propriété.

Fermat 1643

Triangle

A = 4 565 486 027 761

B = 1 061 652 293 520

C = 4 687 298 610 289

Hypoténuse

C = 2 165 017²

Côtés

A + B = 2 372 159²

 

C'est bêbête.

Triangle

693, 1924, 2 045

Aire

666 666

 

 

Seuls trio de triangles connus ayant la même aire.

Triangle

1 380

19 019

19 069

3 059

8 580

9 109

4 485

5 852

7 373

Aire

13 123 110

 

Trouvé en 1945 par Shedd d'Arlington, cité par Martin Gardner

On ne sait pas s'il en existe d'autres.

On n'en connaît pas 4 ou plus de même aire.

 

 

Le trio le plus petit ayant le même périmètre.

Triangle

3 255

5 032

5 993

7 055

168

7 057

119

7 080

7 081

Périmètre

14 280

 

 

Triangles rectangles

de même hypoténuse

 

Les dix plus petits avec hypoténuse non entière

 

Avec hypoténuse  entière

Pour tous a, b, c, d < 151.

 

Voir Somme de plusieurs carrés

 

 

PÉRIMÈTRE

 

*      Le périmètre du triangle est:          a + b + c.

*      Dans le cas où le triplet est (u² - v²,   2uv,   u² + v²),
le périmètre est:                              2u (u + v).

 

 

 

 

SURFACE - AIRE

 

Aire d'un triangle pythagorique

 

L'aire d'un triangle pythagorique est toujours un multiple de 6.

Fibonacci (1175-1240)

 

 

Aire carrée – Théorème de Bachet

 

Aucun triangle pythagorique n'a une aire carrée.

 

*      Autrement dit: le système d'équations diophantiennes suivant n'a pas de solution:

 

 

Bachet de Méziriac (1581-1638) – Bourg-en-Bresse.

 

*      1612 – Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres.

*      Il étudie les carrés magiques.

*      Traduit l'Arithmetica de Diophante et s'intéresse aux triangles rectangles pythagoriques.

*      1621 – Traduction latine, avec commentaires, de l'Arithmétique de Diophante. Livre que lira et annotera Fermat.

*      Membre de l'Académie Française dès sa fondation en 1634.

 

Voir Jeu de 100

 

 

 

*      L'aire d'un triangle est évidemment ab/2.

*      Dans le cas où le triplet est (u² – v², 2uv, u² + v²), l'aire est uv( v²).

 

*      L'aire ne peut pas être un carré parfait, démontré par Fermat (théorème de Bachet).

 

*      L'aire du triangle est un multiple de 6.

*      En moyenne, l'aire se termine par 0 pour 2/3 des cas.

 

En fait,

*      Trois cas possibles seulement:

Unité de l'aire

0

4

6

Pourcentage des cas en moyenne

66%

33%

33%

 

*      L'aire d'un triangle dont les côtés sont des nombres rationnels:

*      ne peut pas être 1, 2, 3 ni 4;

*      Le premier entier a posséder cette propriété est 5;

*      Le premier avec des côtés en nombres entiers est 6.

 

a

b

c

A = a.b / 2

Rationnel

3/2

20/3

41/6

5

Entier

3

4

5

6

 

Suite en Nombres congruents

 

 

 

CERCLES

Cercle

Inscrit

Circonscrit

Diamètre

(x + y) - z

= 2 v (u - v)

c

= ( + )

hypoténuse = diamètre

Exemple 3, 4, 5

2

5

Nombre entier

Rayon entier

Diamètre entier

 

 

 

CURIOSITÉS

 

Les triangles suivants sont rectangles:

3, 4 , 5 :     3² +   4² =  

5, 12, 13 : 5² + 12² = 13²

 

En prenant les moyennes, est-ce que le triangle reste rectangle?

4, 8, 9 : 4² + 8² = 80

au lieu de    9² = 81.

L'angle n'est pas droit, mais vaut 91 degrés.

 

 

 

Triangle entier

 

Problème

Dans ce triangle, toutes les mesures sont entières; de plus, h, b et c sont consécutifs. Quel est le plus petit triangle de cette sorte?

 

 

Solution

On montre que: y² = 2 (x² + 1).

 

Ce qui veut dire que:

      y² est divisible par 2;

=> y est divisible par 2;

=> y² est en fait divisible par 4;

=> (x² + 1) est divisible par 2;

=> y est impair et x est pair.

 

 

Explorons!

 

 

 

Réponse

x = 7 et y = 10 pour le plus petit; mais il y en a d'autres plus grands. Le premier cas avec h = 0 correspond à un triangle dégénéré en angle plat.

 

 

Relations

h = b – 1 => h² = b² – 2b + 1

c = b + 1 => c² = b² + 2b + 1

 

x² = b² – h² = b² – b² + 2b – 1

                   = 2b – 1      

y² = c² + h² = b² + 2b + 1 – b² + 2b – 1

                   = 4b

 

y² – 2x² = 4b – 4b + 2 = 2

y² = 2 (x² + 1)

 

Vu dans Tangente de septembre-octobre 2013 – Michel Criton

Voir Le triangle 13, 14, 15 du même genre

 

 

 

 

Suite

*    Briques de Pythagore

*    Nombres congruents

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Années Pythagore

*    Décade de Pythagore

*    Programmation

*    PythagoreBiographie

Site

*      Pythagorean Triple de Eric Weisstein

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