NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Rubrique

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Introduction

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Cercle

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Triangles

Briques

Calculs

Avec un carré

 

Sommaire de cette page

>>> Triangles rectangles particuliers

>>> Triangles de même hypoténuse

>>> Périmètre

>>> Surfaces

>>> Théorèmes de Fermat – Démonstration

>>> Cercles

>>> Curiosités

>>> Triangle entier

>>> Historique

 

 

 

 

 

TRIANGLES de PYTHAGORE 

 

Triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers.

Fermat a démontré que pour de tels triangles, l'aire n'est jamais un nombre carré >>>.

 

   

TRIANGLES PARTICULIERS

 

Les 2 plus petits à côtés entiers de même hypoténuse.

Côtés

1, 8

4, 7

Hypoténuse

65

√65

 

Les 2 plus petits à côtés entiers de même hypoténuse entière

Côtés

7, 24

15, 20

Hypoténuse

25

25

 

Les 2 seuls ayant cette

propriété: même aire et même périmètre

Triangle

6, 8, 10

5, 12, 13

Surface

24

30

Périmètre

24

30

 

Le plus petit triangle ayant cette propriété.

Triangle

119, 120, 169

 

Hypoténuse

169 =

13²

Côtés

120 – 119 =

 

Le plus petit triangle ayant cette propriété.

Fermat 1643

Triangle

A = 4 565 486 027 761

B = 1 061 652 293 520

C = 4 687 298 610 289

Hypoténuse

C = 2 165 017²

Côtés

A + B = 2 372 159²

 

C'est bêbête.

Triangle

693, 1924, 2 045

Aire

666 666

 

 

Seuls trio de triangles connus ayant la même aire.

Triangle

1 380

19 019

19 069

3 059

8 580

9 109

4 485

5 852

7 373

Aire

13 123 110

 

Trouvé en 1945 par Shedd d'Arlington, cité par Martin Gardner

On n'en connaît d'autres de même aire.

On ne sait même pas s'il en existe d'autres.

 

 

Le trio le plus petit ayant le même périmètre.

Triangle

3 255

5 032

5 993

7 055

168

7 057

119

7 080

7 081

Périmètre

14 280

 

 

Triangles rectangles

de même hypoténuse

 

Les dix plus petits avec hypoténuse non entière

 

Avec hypoténuse  entière

Pour tous a, b, c, d < 151.

 

Voir Somme de plusieurs carrés

 

 

PÉRIMÈTRE

 

*      Le périmètre du triangle est:          a + b + c.

*      Dans le cas où le triplet est (u² - v²,   2uv,   u² + v²),
le périmètre est:                              2u (u + v).

 

 

 

SURFACE - AIRE

 

Aire d'un triangle pythagorique

 

L'aire d'un triangle pythagorique est toujours un multiple de 6.

Fibonacci (1175-1240)

 

 

Aire carrée – Théorème de Fermat sur les triangles rectangles

 

Aucun triangle pythagorique n'a une aire carrée.

 

*      Autrement dit: le système d'équations diophantiennes suivant n'a pas de solution:

Voir Démonstration

 

 

Conséquences

*      Si trois nombres carrés sont en progression arithmétique, la raison d'une telle suite ne peut pas être, elle aussi, un nombre carré.

*      Il est impossible de trouver deux triangles rectangles tels que présentés sur cette figure.

         

Voir Brève 729

 

 

 

*      L'aire d'un triangle est évidemment ab / 2.

*      Dans le cas où le triplet est (u² – v², 2uv, u² + v²), l'aire est uv (u² v²).

 

*      En moyenne, l'aire se termine par 0 pour 2/3 des cas.

En fait,

Trois cas possibles seulement:

Unité de l'aire

0

4

6

Pourcentage des cas en moyenne

66%

33%

33%

 

*      L'aire d'un triangle dont les côtés sont des nombres rationnels:

*      ne peut pas être 1, 2, 3 ni 4;

*      Le premier entier a posséder cette propriété est 5;

*      Le premier avec des côtés en nombres entiers est 6.

 

a

b

c

A = a.b / 2

Rationnel

3/2

20/3

41/6

5

Entier

3

4

5

6

 

Suite en Nombres congruents

 

 

 

Théorème de Fermat sur les triangles rectangles

 

Aucun triangle pythagorique n'a une aire carrée.

  

Autrement dit: le système d'équations diophantiennes suivant n'a pas de solution:

 

Démonstration d'après Fermat Descente infinie

 

 

Voir Divisibilité par 4 de la somme ou la différence de deux nombre impairs

 

Merci à  Jean-Francisque Léo pour ses remarques

 

La démonstration de Fermat

Number Theory: An approach through history

From Hammurapi to Legendre – Page 76 -  André Weil

 

 

 

CERCLES

Cercle

Inscrit

Circonscrit

Diamètre

(x + y) - z

= 2 v (u - v)

hypoténuse = diamètre

Exemple 3, 4, 5

2

5

Nombre entier

Rayon entier

Diamètre entier

 

 

 

CURIOSITÉS

 

Les triangles suivants sont rectangles:

3, 4 , 5 :     3² +   4² =  

5, 12, 13 : 5² + 12² = 13²

 

En prenant les moyennes, est-ce que le triangle reste rectangle?

4, 8, 9 : 4² + 8² = 80

au lieu de    9² = 81.

L'angle n'est pas droit, mais vaut 91 degrés.

 

 

 

Triangle entier

 

Problème

Dans ce triangle, toutes les mesures sont entières; de plus, h, b et c sont consécutifs. Quel est le plus petit triangle de cette sorte?

 

 

Solution

On montre que: y² = 2 (x² + 1).

 

Ce qui veut dire que:

      y² est divisible par 2;

=> y est divisible par 2;

=> y² est en fait divisible par 4;

=> (x² + 1) est divisible par 2;

=> y est impair et x est pair.

 

 

Explorons!

 

 

 

Réponse

x = 7 et y = 10 pour le plus petit; mais il y en a d'autres plus grands. Le premier cas avec h = 0 correspond à un triangle dégénéré en angle plat.

 

 

Relations

h = b – 1 => h² = b² – 2b + 1

c = b + 1 => c² = b² + 2b + 1

 

x² = b² – h² = b² – b² + 2b – 1

                   = 2b – 1      

y² = c² + h² = b² + 2b + 1 – b² + 2b – 1

                   = 4b

 

y² – 2x² = 4b – 4b + 2 = 2

y² = 2 (x² + 1)

 

Vu dans Tangente de septembre-octobre 2013 – Michel Criton

Voir Le triangle 13, 14, 15 du même genre

 

 

 Historique

 

1225 – Fibonacci: publie une liste de problèmes dont l'un est de trouver trois carrés en progression arithmétique. Il nomme la raison congruum. Il propose l'exemple indiqué pour un congruum de 5.

La même année, il publie Liber Quadratorum et remarque que le conguum ne peut pas être un nombre carré.

 

Bachet de Méziriac (1581-1638), traduisant le livre Arithmetica de Diophante,   s'intéresse aux triangles rectangles de Pythagore et affirme qu'aucun d'eux n'a une aire carrée. Autrement dit: x² = y² + z² et y.z = 2t² n'a pas de solution.

Fermat (vers 1601-1665) s'empare de ce sujet en lisant les Arithmétiques de Diophante, traduites et commentées par Bachet. Il défie ses contemporains de prouver que les triangles de Pythagore ne présentent jamais une aire carrée.
Fermat écrit à Huygens: si l'aire d'un tel triangle était un carré, alors, il en existerait un plus petit ayant les mêmes propriétés et ainsi de suite. Ce qui est impossible. Principe de sa démonstration par descente infinie. Heureusement in annotera sa démonstration sur le livre de Diophante.
En 1670, après sa mort, son fils Samuel découvre la démonstration et la publie.

 

En 1676, deux ans après sa mort, on publie Traité des triangles rectangles en nombres de Frénicle de Bessy. On y trouve une démonstration qui certainement est celle de Fermat, attestée par les échanges entre les deux mathématiciens et Huygens.

 

En 1738, Euler présente une preuve plus simple en partant d'un énoncé équivalent: v4 + t4 = s2, équation qui n'a pas de solution entière non triviale.

  

Histoire détaillé en:   Number Theory: An approach through history

From Hammurapi to Legendre – Page 76 -  André Weil

 

 

 

 

 

Suite

*    Briques de Pythagore

*    Nombres congruents

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Années Pythagore

*    Décade de Pythagore

*    Nombres sommes de carrés plusieurs fois

*    Programmation

*    PythagoreBiographie

Sites

*      Théorème de Fermat sur les triangles rectangles – Wikipédia

*      Fermat's Right Triangle Theorem – Wikipedia

*      Fermat's Right Triangle Theorem – Proof Wiki

*      Pythagorean Triple de Eric Weisstein

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/TripTrg.htm