NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 20/01/2020

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths                      

      

COMPTER

 

Débutants

COMPTER

 

FAQ

Les OUTILS

 

Glossaire

COMPTER

 

INDEX

 

Dénombrement

 

Calculs

 

Rubriques

Types – Synthèse

Principe additif

Principe multiplicatif

Débutant

Principe des tiroirs

Inclusion-exclusion

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> UNION de 2

>>> UNION de 3

>>> UNION de n

>>> Exemple – Divisibilité par 3 ou 5 ou 7

>>> Quantité de fonctions surjectives avec exemple

 

 

 

 

 

 

Principe d'inclusion – exclusion (PIE)

 

Lorsque les choses sont partagées, comment compter ?

 

En bref

Anglais:  The inclusion-exclusion principle

 

 

Notations

n(A) est la quantité d'éléments de A, nommée le cardinal de A.

Le cardinal de l'ensemble A est aussi noté , #E ou Card(E)

 

 

 

Approche

 

5 objets dans l'ensemble A.

6 objets dans l'ensemble B.

Mais il n'y a pas 5 + 6 = 11 objets en tout

 

Car, les deux ensembles ont 2 objets en commun. Ceux-ci ont été comptés deux fois.

 

n(A avec B) = n(A) + n(B)

                       – n( A et B en commun).

 

 

 

Union de deux ensembles

 

Le nombre d'objets dans une Union est égal à la somme des objets des deux collectons diminué du nombre d'objets en commun, à l'intersection.

 

 

Voir Probabilités pour une formule analogue

Exemple

 

On connaît les goûts des amateurs de pizzas. Mais, on ne sait pas combien ils sont.

Il y a 14 amateurs de pizzas.

 

Exemple (notation avec barres)

Propriétés**

 

A et B sont deux sous-ensembles de l'ensemble fini U.

 

Cardinal de A intersection B

 

Cardinal de A à l'exclusion de B

 

Cardinal de A ou exclusif B

 

 

 

 

Union de trois ensembles

 

 

Exemple

 

On connaît la répartition des étudiants (rose), on ne sait pas combien ils sont (calcul en bleu).

 

Il y a 80 étudiants qui étudient au moins une langue.

 

 

À la télévision:

*    28 regardent la 1; 19 la 2 et 24 la 3.

*    ils sont 16 pour la 1 et 2; 10 pour la 2 et 3 et 14 pour la 1 et 3;

*    et, finalement, 8 regardent les 3.

Combien regardent au moins un programme ?

 

T (union) = 28 + 19 + 24

        – (10 + 14 + 16)
        + 8

    = 39

Combien de nombres de 1 à 1000 sont divisibles par 5, 6 ou 7 ?

Divisibles par 5 : 1000/5 = 200

Divisibles par 6 : 1000/6 = 166,6… => 166

Divisibles par 7 : 1000/7 = 142,8…=> 142

Divisibles par 5 et 6 : 1000/30 = 33,3… => 33

Divisibles par 6 et 7 : 1000/42 = 23,8… => 23

Divisibles par 5 et 7 : 1000/35 = 28,5… => 28

Divisibles par 5, 6 et 7 : 1000/210 = 4,7… => 4

T = 200 + 166 + 142 – 33 – 23 – 28 + 4 = 428

 

 

Union de n ensembles

 

La formule se généralise en faisant alterner les signes + et –

 

 

 

Exemple pour 4

 

 

 

Exemple – Divisibilité par 3 ou 5 ou 7

Parmi les nombres de 1 à 300 compris, combien sont-ils à être divisibles par au moins l'un de ces nombres: 3, 5 ou 7?

 

A = nombre divisibles par 3

B = nombre divisibles par 5

C = nombre divisibles par 7

 

La question posée:

Quantité de nombre divisible par 3

par 5

par 7

 

n(A) = plancher (300/3) = 100

n(B) = plancher (300/5) =   60

n(C) = plancher (300/7) =   42

 

Les nombres 3, 5 et 7 sont premiers entre eux

Les nombre divisibles par 3 et 5 le sont par 15; etc.

 

 

Formule inclusion-exclusion

 

Programme Maple

Commentaires

Initialisation d'un compteur (kt).

Boucle d'analyse des nombres n de 1 à 300.

Si n est divisible par 3 ou 5 ou 7 alors incrémenter le compteur.

Fin de boucle et imprimer la valeur de kt.

 

Ce programme Maple vérifie le calcul expliqué ci-dessus.

 

Autres fourchettes

Pour n de 1 à 1000 : 543

                     10 000 : 5429

                   100 000 : 54286

                1 000 000 : 542857

 

 

Exemple – Divisibilité par 3 ou 5 et pas par 7

 

Parmi les nombres de 1 à 300 compris, combien sont-ils à être divisibles par 3 et par 5, mais pas par 7?

 

 

                     = 20 -2 = 18

Divisible par 5, mais pas par 3, ni par 7

= 60      – 20             – 8           +  2

= 34

 

 

 

Quantité de fonctions surjectives avec exemple

 

Formule

 

Deux ensembles A et B de cardinalité m et n avec m  n.

Q est la quantité de fonctions surjectives de A sur B.

 

 

Exemple

Combien de possibilités de donner 4 bonbons différents à trois enfants, chaque enfant recevant au moins un bonbon?

 

A = ensembles des bonbons

B = ensembles des enfants

Fonction  de A sur B

Donner un bonbon ai à un enfant bj.

Chaque enfant recevant un bonbon => la fonction est surjective

Quantité

= 81 – 3 x 16 + 3 x 1 = 81 – 48 + 3 = 36

Explications

Totalité des cas, les enfants recevant ou pas des bonbons: 35 >>>

Cas comportant avec enfants sans bonbons: 96 cas.

Cas avec enfants ayant reçus 3 bonbons: 3.

Remarque

Aves 5 bonbons identiques, les trois enfants auraient d'abord reçus chacun 1 bonbon. Reste à distribuer 2 bonbons à 3 enfants. Soit 6 cas seulement.

Tableau montrant le décompte

 

Les 36 cas demandés: distribution de 4 bonbons particuliers (tous différents) à 3 enfants. (Équivalent à : distribution de 4 balles numérotées dans 3 paniers numérotés).

 

Exemple de lecture (première ligne à gauche):
l'enfant E1 reçoit le bonbon n°1;
l'enfant 2, le bonbon n°2; et
l'enfant 3, les bonbons n°3 et n°4.

 

Suite du tableau: cas d'enfants sans bonbons

 

Les 45 cas où 1 des enfants au moins ne reçoit pas de bonbon.

 

Exemple de lecture (premières lignes à gauche):

Les bonbons B1, B2, B3 et B4 sont donnés à l'enfant 1.
Les bonbons B1, B2 et B3 sont donnés à l'enfant 1 et B4 est donné à l'enfant 2.
Etc.

En bleu: ligne 1 à gauche: l'enfant 1 reçoit 4 bonbons, alors que l'enfant 2 comme l'enfant 3 n'ont rien.

 

 

Cas de 5 bonbons pour 3 enfants

 

Voir Cet exemple de dénombrement

= 243 – 3 x 32 + 3 x 1 = 243 – 96 + 3 = 150

Cas de 6 bonbons pour 3 enfants

= 729 – 3 x 64 + 3 x 1 = 729 – 192 + 3 = 540

 

 

 

 

 

Suite

*    Principe des tiroirs

Retour

*    Principe multiplicatif

*    CombinatoireIndex

*    D'un coup d'œil

Voir

*    Cartes

*    Compter les nombres

*    Dés

*    Dominos

*    Échecs

*    Factorielle et ses cousines

*    Grenouilles

*    Inventaire des outils mathématiques

*    JeuxIndex

*    Probabilités

*    Triangle de Pascal

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/CombInex.htm