NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Inclusion-exclusion

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> UNION de 2

>>> UNION de 3

>>> UNION de n

>>> Exemple – Divisibilité par 3 ou 5 ou 7

>>> Quantité de fonctions surjectives avec exemple

 

 

 

 

 

 

Principe d'inclusion – exclusion (PIE)

 

Lorsque les choses sont partagées, comment compter ?

Anglais:  The inclusion-exclusion principle

 

 

Notations

n(A) est la quantité d'éléments de A, nommée le cardinal de A.

Le cardinal de l'ensemble A est aussi noté , #E ou Card(E)

 

 

 

Approche

 

5 objets dans l'ensemble A.

6 objets dans l'ensemble B.

Mais il n'y a pas 5 + 6 = 11 objets en tout

 

Car, les deux ensembles ont 2 objets en commun. Ceux-ci ont été comptés deux fois.

 

n(A avec B) = n(A) + n(B)

                       n( A et B en commun).

 

 

 

Union de deux ensembles

 

Le nombre d'objets dans une Union est égal à la somme des objets des deux collectons diminué du nombre d'objets en commun, à l'intersection.

 

 

Voir Probabilités pour une formule analogue

Exemple

 

On connaît les goûts des amateurs de pizzas. Mais, on ne sait pas combien ils sont.

Il y a 14 amateurs de pizzas.

 

Propriétés**

 

A et B sont deux sous-ensembles de l'ensemble fini U.

 

Cardinal de A intersection B

 

Cardinal de A à l'exclusion de B

 

Cardinal de A ou exclusif B

 

 

 

 

Union de trois ensembles

 

 

Exemple

 

On connaît la répartition des étudiants (rose), on ne sait pas combien ils sont (calcul en bleu).

 

Il y a 80 étudiants qui étudient au moins une langue.

 

 

 

Union de n ensembles

 

La formule se généralise en faisant alterner les signes + et –

 

 

 

Exemple pour 4

 

 

 

Exemple – Divisibilité par 3 ou 5 ou 7

Parmi les nombres de 1 à 300 compris, combien sont-ils à être divisibles par au moins l'un de ces nombres: 3, 5 ou 7?

 

A = nombre divisibles par 3

B = nombre divisibles par 5

C = nombre divisibles par 7

 

La question posée:

Quantité de nombre divisible par 3

par 5

par 7

 

n(A) = plancher (300/3) = 100

n(B) = plancher (300/5) =   60

n(C) = plancher (300/7) =   42

 

Les nombres 3, 5 et 7 sont premiers entre eux

Les nombre divisibles par 3 et 5 le sont par 15; etc.

 

 

Formule inclusion-exclusion

 

Programme Maple

Commentaires

Initialisation d'un compteur (kt).

Boucle d'analyse des nombres n de 1 à 300.

Si n est divisible par 3 ou 5 ou 7 alors incrémenter le compteur.

Fin de boucle et imprimer la valeur de kt.

 

Ce programme Maple vérifie le calcul expliqué ci-dessus.

 

Autres fourchettes

Pour n de 1 à 1000 : 543

                     10 000 : 5429

                   100 000 : 54286

                1 000 000 : 542857

 

 

Exemple – Divisibilité par 3 ou 5 et pas par 7

 

Parmi les nombres de 1 à 300 compris, combien sont-ils à être divisibles par 3 et par 5, mais pas par 7?

 

 

                     = 20 -2 = 18

Divisible par 5, mais pas par 3, ni par 7

= 60      – 20             – 8           +  2

= 34

 

 

 

Quantité de fonctions surjectives avec exemple

 

Formule

 

Deux ensembles A et B de cardinalité m et n avec m  n.

Q est la quantité de fonctions surjectives de A sur B.

 

 

Exemple

Combien de possibilités de donner 4 bonbons différents à trois enfants, chaque enfant recevant au moins un bonbon?

 

A = ensembles des bonbons

B = ensembles des enfants

Fonction  de A sur B

Donner un bonbon ai à un enfant bj.

Chaque enfant recevant un bonbon => la fonction est surjective

Quantité

= 81 – 3 x 16 + 3 x 1 = 81 – 48 + 3 = 36

Explications

Totalité des cas, les enfants recevant ou pas des bonbons: 35 >>>

Cas comportant avec enfants sans bonbons: 96 cas.

Cas avec enfants ayant reçus 3 bonbons: 3.

Remarque

Aves 5 bonbons identiques, les trois enfants auraient d'abord reçus chacun 1 bonbon. Reste à distribuer 2 bonbons à 3 enfants. Soit 6 cas seulement.

Tableau montrant le décompte

 

Les 36 cas demandés: distribution de 4 bonbons particuliers (tous différents) à 3 enfants. (Équivalent à : distribution de 4 balles numérotées dans 3 paniers numérotés).

 

Exemple de lecture (première ligne à gauche):
l'enfant E1 reçoit le bonbon n°1;
l'enfant 2, le bonbon n°2; et
l'enfant 3, les bonbons n°3 et n°4.

 

Suite du tableau: cas d'enfants sans bonbons

 

Les 45 cas où 1 des enfants au moins ne reçoit pas de bonbon.

 

Exemple de lecture (premières lignes à gauche):

Les bonbons B1, B2, B3 et B4 sont donnés à l'enfant 1.
Les bonbons B1, B2 et B3 sont donnés à l'enfant 1 et B4 est donné à l'enfant 2.
Etc.

En bleu: ligne 1 à gauche: l'enfant 1 reçoit 4 bonbons, alors que l'enfant 2 comme l'enfant 3 n'ont rien.

 

 

Cas de 5 bonbons pour 3 enfants

 

Voir Cet exemple de dénombrement

= 243 – 3 x 32 + 3 x 1 = 243 – 96 + 3 = 150

Cas de 6 bonbons pour 3 enfants

= 729 – 3 x 64 + 3 x 1 = 729 – 192 + 3 = 540

 

 

 

 

 

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