NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

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Propriétés de partage

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Cercle

 

Polygones

 

Dénombrement

 

Partage – Égalité

En 5 – Pentagone

En 6 – Hexagone

Méthode BION

En 7 – Heptagone

En 9 – Ennéagone

Constructibilité

Régions-cordes

Régions-points

Yin Yang

 

Sommaire de cette page

>>> Les deux méthodes en bref

>>> La méthode BION

>>> La méthode BION – Justification

>>> La méthode TEMPIER

>>> Bilan: comparaison des deux méthodes

>>> Historique – L'explication de Nicolas Bion

 

 

 

 

 

Partage du cercle en n parties égales

ou Construction du polygone régulier à n côtés

Méthode Bion et méthode Tempier

 

Méthodes générales de construction des polygones à n côtés. Elles étaient utilisées par les architectes et les artistes.

On sait qu'il n'existe pas de méthode générale de construction à la règle et au compas pour tout type de polygone régulier. Seuls certains sont constructibles.

Ici, il s'agit d'une méthode générale quelle que soit la quantité de côtés, au prix d'une approximation plus ou moins importante que nous allons quantifier.

Nicolas Bion (1652-1733)  est un ingénieur et cosmographe français, constructeur d'instruments de mathématiques pour Louis XIV. Auteur de: Traité de la construction et des principaux usages des instrumens (sans t) de mathématiques (1709).  Voir texte in fine >>>

 

Les deux méthodes en bref

 

 

La méthode BION

Procédé

1.    Choisir un segment BC marqué d'autant d'intervalles que n, la quantité de côtés du polygone à construire. Ici, 9 pour un ennéagone.

2.    Cercles (B, BC) et (C, CB) qui se coupent en F et F'. On trace FF' qui est ainsi la perpendiculaire en A de BC.

3.    Choisir D à la deuxième marque (valable pour tout n).

4.    Droite FD qui coupe le cercle en G.

5.    CG est un côté de l'ennéagone et l'angle CAG est très voisin de 40°.

6.    Les sommets de l'ennéagone sont obtenus en reportant la longueur CG sur la périphérie du cercle (cercles pointillés orange)

 

 

 

La méthode BION – Justification

But

Calculer la valeur de l'angle a = CAG dans le cas général.

On prend r = AC = AB = 1, ce qui ne change pas la valeur des angles.

Le segment BC est divisé en n intervalles (ici, n = 9).

 

Remarques

Chaque intervalle mesure 2r / n = 2/n.

De sorte que:
CD = 4/n et AD = q = 1 – 4/n.

 

On se souvient que d'après la construction: CF = CB = 2.

Avec AC = 1, on calcule (Pythagore):
 

 

Quant à l'hypoténuse h

Avec les angles

La loi des sinus pour le triangle ADG

Angle gamma en fonction de l'angle delta

En remplaçant

Évaluation de l'angle alpha

Nous connaissons ces deux angles par leur sinus

Avec les valeurs de p et q

 

Application numérique

 

Construction exacte pour les carrés et les hexagones.

Construction dont la précision diminue avec la quantité de côtés.

 

Zoom sur le point G

 

 

On constate bien ce décalage avec une construction GeoGebra.

Après report sur tout le cercle pour tracer les sommets de l'ennéagone, le dernier cercle en pointillé coupe le cercle origine en S avec 0,2 unité.

 

 

La méthode TEMPIER

Procédé

Le même que pour la méthode Bion jusqu'au tracé de demi-droite FD.

Le point D est choisi à deux intervalles à gauche du milieu du segment BC.

GH est alors un des côtés de l'ennéagone.

 

 

 

 

Formule

 

 

Application numérique

 

Construction exacte pour les carrés et les dodécagones et assez proche pour n autour de 12.

 

Construction dont la précision diminue en s'éloignant de 12 côtés.

 

Comparaison des méthodes

Les erreurs notées en rouge sont les plus petites selon la méthode. Soit la conclusion:

 

*      BION pour petit nombre de côtés, jusqu'à 8; et

*      TEMPIER pour tout nombre de côtés égal 8 ou plus.

 

D'autres informations sont disponibles sur le site cité en référence.

 

 

 Historique – L'explication de Nicolas Bion

 

Extrait du texte de Nicolas Bion

Traité de la construction et des principaux usages des instrumens de mathématiques – Chapitre I page 19.

Lecture de la première ligne: Soit proposé pour exemple à faire un Pentagone; si le cercle est donné, divisez son diamètre A B en cinq parties égales par l'usage 8. Vous avez noté le script de la lettre s de cette époque. L'usage 8, fait référence à une méthode de construction n°8 décrite lus haut dans le document..

 

 

La construction proposée du pentagone

L'angle au centre de 72° est approché par 71,95°, soit à 0,05° près (0,7).

Pas mal pour une construction aussi simple!

Voir Construction exacte du pentagone

 

 

 

 

 

Suite

*  Voir en haut de page

*  Cercle – Découpe - Faisabilité

*  Partage de la tarte en un maximum de parts

*  Découpe du gâteau en huit

*  Découpe de la brioche en neuf parts

*  Partage du triangle en sept

Voir

*  Bonne année 2017

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

*  Noms des polygones

*  Tartes et fractions

Site

*  Dividing the circle – Hugo Tavares and Pedro J. Freitas – Universidade de Lisboa – Cette page est largement inspirée de leur document.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Bion.htm