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Polygones

 

Géométrie 

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Construction

Construction Bion

Construction Dürer

 

Sommaire de cette page

>>> Construction avec les rosaces

>>> Construction exacte (Neusis)

>>> Méthode analytique: angle 20° = Pi/9 en E

>>> Méthode géométrique: angle 20° = Pi/9 en F

>>> Construction approximative n°1 et calcul d'erreur

>>> Construction approximative n°2

>>> Construction approximative n°3 et calcul d'erreur

>>> Bilan

 

 

 

 

 

Ennéagone – Nonagone

Méthodes de construction

 

L'ennéagone régulier est inconstructible à la règle et au compas.

La construction est faisable avec une règle marquée et un compas (neusis).

Il est possible d'approcher de très près la construction précise de l'ennéagone.

Pour réaliser simplement un ennéagone, voir sa construction à partir de l'hexagone en appliquant cette relation 9 = (3 x 6) / 2

 

 

Construction avec les rosaces

1.   Construire le tapis de rosaces et le cercle qui les inscrit (bleu).

2.   Du centre, tracer les trois demi-droites à 120°

3.   Du point bas de la rosace centrale, tracer les deux droites roses, puis la droite rose horizontale.

4.   Les intersections avec le grand cercle sont les sommets de l'ennéagone.

 

 

 

Construction EXACTE (Neusis: compas et règle marquée)

5.   Deux points A et B

6.   Cercles (A, AB) et (B, AB) => points C et D

7.   Point E quelconque sur AB

8.   Cercle (E, AB)

9.   Faire glisser E1 et son cercle le long de AB pour créer les intersections F et G

10.    FG est un côté de l'ennéagone.

 

1 Mode opératoire (construction neusis): sur une règle marquez le longueur du rayon et placer la règle passant par C et avec les points E et F ajustés en position

 

Comment s'y prendre pour la valeur de l'angle en F ?

Méthode 1: analytique. Elle est fastidieuse, mais permet de découvrir les valeurs des sinus et cosinus de l'angle 20°  >>>

Méthode 1: géométrique. Avec quelques tracés supplémentaires, la démonstration est immédiate; elle se lit directement sur la figure >>>

 

Méthode analytique:  Angle 20° = Pi/9 en F

Notre but

Justification avec les lignes trigonométriques de l'angle Pi/9 dont voici les valeurs. Nous allons les calculer via la construction de l'ennéagone tout en justifiant la construction.

Notez que E est un nombre complexe.


Note en passant

Une approximation parfois utilisée pour approcher la construction de l'ennéagone.

Figure avec coordonnées

La justification passe par l'utilisation de la géométrie analytique: équations des cercles et  de la droite pour trouver les coordonnées des points d'intersection.

Il s'agit de calculer tan(CFD) = CD / CF.

Avec Pythagore

Coordonnées des points

Avec FC inconnu  = a

Équation de la droite FD

Équation du cercle (A, AD)

Équation du cercle (F, FJ)

Intersection droite et cercles

Résolution

x1 vaut également 0

x2 vaut également la même chose avec (+8) au lieu de (-8) pour le point symétrique.

Intersection: x1 = x2 qui permet de trouver la valeur de a.

 

L'équation est horriblement compliquée. Son graphe permet d'apprécier les racines.

Un logiciel de calcul donne la valeur la valeur exacte et son évaluation numérique.

On vérifie la valeur de a sur la figure du haut.

 

Tangente  de l'angle CFD:

On pose E et on calcule le cosinus.

 

 

 

Voir Développements sur l'angle Pi/9

 

 

Méthode géométrique: angle 20° = Pi/9 en F

 

Construction

On trace AM perpendiculaire à AB et le segment AJ.

 

Démonstration

Les triangles colorés sont isocèles et même équilatéral pour ABD.

L'angle alpha en F se retrouve en A et son double en J, puis en D.

Notez que l'angle MAJ vaut 70° (90° – 20°).

 

Figure illustrant une démonstration quasi-muette

 

 

 

 

 

 

 

Construction approximative n°1 et calcul d'erreur

Construction très simple

1.   Deux points A et B

2.   Cercles (A, AB) et (B, AB) => points C et D

3.   Droite CD

4.   Segment OC = AM

5.   Cercle (O, OA)

6.   Report de la distance AB sur ce cercle => ennéagone approximatif.

 

Calcul d'erreur

Nous devons vérifier que l'angle ACB est très proche de 40°.

 

Nous avons R = AB = AC = BC = 1 (Le triangle ABC est équilatéral):

 

  AC  = 1 et AM  = 1/2

Calcul de la tangente et de l'arc tangente.

 

Soit: 20,109 degrés au lieu des 20° attendus (0,5% d'erreur relative).

 

 

Construction approximative n°2

1.   Deux points A et B

2.   Cercles (A, AB) et (B, AB) => points C et C'

3.   Droite CB => D

4.   Cercle (C,CC') => E

5.   Cercle (E,EB) => F

6.   DF est le côté de l'ennéagone (à très peu près).

7.   Report de DF sur la périphérie du cercle bleu => 9 sommets de l'ennéagone.

 

 

Construction approximative n°3

Cette construction était connue d'Albrecht Dürer (Le manuel du peintre).

 

Construire cet hexagramme

 

1.   Cercle de centre O de rayon R (vert pointillé).

2.   Report du rayon R, six fois sur la circonférence (construction de l'hexagone).

3.   Dessin de l'hexagone et de ses prolongements (figure jaune).

4.   Cercle (vert) inscrivant la figure jaune.

5.   Segment HP qui va devenir le rayon du cercle inscrivant l'ennéagone.

6.   Cercle (H, HP) => deux points verts, deux sommets de l'ennéagone.

7.   Deux autres cercles de même diamètre centrés sur les deux autres points orange.

8.   Ligne joignant tous les points verts qui forme l'ennéagone régulier complet. En fait une approximation

 

Calcul d'erreur

 

Dans l'ennéagone exact, l'angle ROT mesure 40°.

Avec le dessin de l'hexagone, on sait que l'angle ROS vaut 30°.

Reste à calculer l'angle SOT qui devrait approcher les 10°.

 

Il nous faut connaitre le rayon HP des cercles et leur équation pour calculer les coordonnées du point d'intersection T.

 

En prenant PQ, le côté de l'hexagone égal à 1.

Le triangle OPQ est équilatéral et OP = 1. Alors:

PH' = 1/2

H'O = cos(30°)

HH' = 2 cos(30°) =

Théorème de Pythagore dans le triangle HPQ:

Équation du cercle vert de centre O (0, 0) et de rayon égal à HH':

Équation du cercle bleu pointillé de centre H (0, ) et de rayon égal à HP:

Calcul en remplaçant x par sa valeur:

Calcul de l'angle de en passant par sa tangente:

La valeur de d par l'arc tangente:

Sur la calculette de votre ordinateur

Faire: 35 / Racine / 1 sur x / tan-1 (utilisez la flèche  pour accéder aux fonctions)

Comparaison: valeur de l'angle TOT comparé à 40° attendus:

E =40 – 30 – 9,5940 = 0,406 … degrés

E% = 1,01%

En fait 3,65° sur l'ensemble des 9 valeurs.

 

 

Bilan

Il existe d'autres constructions qui tentent d'approcher au mieux les 40° dont celle qui utilise cette très bonne approximation:

 

Ne pas oublier la méthode générale de construction des polygones dite Bion et Tempier. Erreur de seulement 0,1° pour le cas Tempier.

Voir en référence un site proposant la construction au millième de degré près et même moins.

Voir Angles en Pi/9

 

 

 

 

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DicoNombre

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Site

*       Ennéagone – Wikipédia

*       Ennéagone – Descartes et les mathématiques

*       Approximated Nonagon Inscribed in a Circle.gif - Wikimedia

*       Construction of a nonagon – Dr Andrew French

*       Compass-and-straightedge construction: nonagon – Chen Bai – Construction à 0,9/1000 de degrés près

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/EnneaCon.htm