NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> 1) Construction règle et compas la plus connue

>>> 2) Construction à partir de deux carrés

>>> 3) Construction avec le nombre d'or

>>> 4) Construction à partir d'un carré central

 

 

 

PENTAGONE RÉGULIER – Constructions

impliquant la racine de 5

  

Plusieurs méthodes de construction du pentagone régulier dont celles basées sur la construction géométrique de la racine de 5.

 

 

1) Construction règle et compas la plus connue

 

Construction dite de Ptolémée (vers 100-168)

Réalisation d'un pentagone inscrit dans un cercle donné.

Méthode basée sur l'utilisation de la racine de 5.

Méthode classique que l'on trouvait dans les manuels de géométrie d'autrefois.

 

Méthode

Un segment MN. Son milieu P et Q le milieu de PN.

Cercle de centre P et de rayon PN.

Un diamètre perpendiculaire à MN.

Intersection avec le cercle en D.

Construction de la racine de 5 avec DQ

 

Cercle de centre Q et de rayon QD.

Intersection en R avec MN.

 

La longueur du segment DR (en vert) est celle du côté du pentagone.

Ouvrir le compas avec cet écartement et reporter cinq fois (quatre suffisent) cette longueur sur la circonférence du cercle

 

Pentagone régulier: ABCDE.

 

Résumé: à partir de Q milieu de PN, cercle QD qui détermine R, alors DR représente le côté du pentagone.

Justification avec PM = PN = PD = R

Dans le triangle rectangle DPR:

DR est le côté du pentagone inscrit dans le cercle de rayon R.

 

 

2) Construction à partir de deux carrés

 

Construction avec deux carrés

 

Réalisation d'un pentagone inscrit dans un cercle donné.

Méthode basée sur l'utilisation de la racine de 5.

Intérêt: trois points du pentagone sont tracés directement sur le cercle (sans report).

 

 

Méthode

 

Deux carrés ABCD et ABFE.

La diagonale DF (introduisant la racine de 5).

L'intersection G.

 

Le cercle de centre A et de rayon AB sera le cercle circonscrit du pentagone.

 

 

 

Cercle de centre G et de rayon GD.

Intersection H.

Cercle de centre D et de rayon DH.

Intersections I et J.

 

 

 

 

 

 

Cercle de centre I et de rayon ID.

Intersection K.

Cercle de centre J et de rayon ID.

Intersection L.

 

Pentagone régulier: IKLJD.

 

 

3) Construction avec le nombre d'or

 

Construction avec le nombre d'or

Réalisation d'un pentagone inscrit dans un cercle donné.

On construit le nombre d'or puis les côtés du  pentagone.

 

Méthode

Merci à Jean-Marc P. pour avoir indiqué cette nouvelle élégante solution

 

 

4) Construction à partir d'un carré central

 

Construction avec un carré central

 

Réalisation d'un pentagone dont un des côtés est le côté du pentagone. Rare méthode avec côté du pentagone comme point de départ.

Méthode basée sur l'utilisation de la racine de 5.

Le principe consiste à construire la hauteur HE du pentagone.

 

Méthode

 

On construit donc un carré ABCD sur le côté AB désiré pour le pentagone.

Le cercle de centre E et de rayon ED coupe AB (prolongé) en F et G.

 

Cercle de centre A et de rayon AG.

Cercle de centre B et de rayon BF.

Intersection en H, le sommet haut du pentagone. HE est une des hauteurs du pentagone.

 

Cercle (vert) de centre A et de rayon AD.

Intersection en P.

Cercle (vert) de centre B et de rayon BC.

Intersection en Q.

 

Pentagone régulier: ABQHP.

 

 

Justificatif: segment DE avec DE² = AD² + AE²

Hauteur HE avec HE² = HB² – EB²

 

 

 

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