NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

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Cercle

 

Géométrie

 

Cercle

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Sommaire de cette page

>>> Deux points du diamètre

 

Deux points quelconques

>>> Méthode équation du cercle

>>> Méthode des médiatrices

 

 

 

 

Cercle passant par DEUX points

Coordonnées de son centre

 

Comment résoudre le cercle selon le minimum de connaissance que nous en avons. Notamment comment calculer les coordonnées du centre.

Ici, nous traitons le cas où le cercle passe par deux points.

Voir Trouver le centre et le rayon du cercle – Introduction

 

 

Orientation: comment trouver les coordonnées du centre O

A et B confondus

AB = diamètre

A et B quelconques

Infinité de cercles

Un seul cercle

Deux cercles

Même pour un rayon donné

Rayon = AB / 2

Pour un rayon donné

>>>

Méthode 1 >>>

Méthode 2 >>>

 

 

 

 

Deux points, extrémités du diamètre

 

Données

*      Un cercle (jaune) qui passe par deux points donnés (A et B), extrémités d'un diamètre du cercle.

 

Questions

*    Tracez le centre du cercle.

*    Trouvez les coordonnées du centre.

*    Quelle est la longueur du rayon

*    Équation du cercle

 

 

Tracé du centre du cercle

Dessinez le segment AB (rouge) et sa médiatrice MN verte).

 

Le point O est le centre du cercle.

Dessinez le cercle de rayon OA (jaune).

Coordonnées du centre

C'est la demi-somme de chaque coordonnée.

 

Diamètre du cercle

Avec le théorème de Pythagore.

Équation du cercle

À partir de l'équation générique.

(a et b) sont les coordonnées du centre

r est le rayon.

 

 

Vérification

Coordonnées du point à la verticale de B, abscisse 3.

 

 

 

 

 

Deux points quelconques et le rayon

Méthode par l'équation du cercle

 

Données

*      Un cercle (jaune) qui passe par deux points donnés (A et B). Son rayon est connu (r = 3 unités).

 

Questions

*      Tracez le centre du cercle.

*      Trouvez les coordonnées du centre.

*      Trouvez les coordonnées du point C à la verticale de B.

 

Tracé du centre du cercle

*    Dessinez le segment AB et sa médiatrice MN.

*    Dessinez le segment BC (C aurait pu être quelconque) et sa médiatrice.

*      Le point d'intersection O est le centre du cercle. Il est à égale distance des ponts A, B et C.
 

La figure présente l'un des deux cercles possibles passant par A et B et de rayon  = 3.

 

Coordonnées du centre du cercle

*      L'équation générale du cercle comporte généralement trois inconnues (a, b et r).

 

(a et b) sont les coordonnées du centre

r est le rayon qui est connu et égal à 3 unités.

*      Pour deux inconnues, il nous faut mettre en place deux équations. Une avec le point A et l'autre avec le point B.

 

*    Développement de ces expressions

 

*    Différence entre ces deux équations et déduction de la valeur de b.

 

*    Report de b dans la première équation

 

 

*    Calculs faits

 

*    Résolution pour a

*    Valeur de b

*    Équation des deux cercles possibles

 

Ordonnée du point C d'abscisse 3, sur le premier cercle.

 

y = –2,712677…

Note

La formulation analytique de la solution est bien trop compliquée. Sa programmation passe par les étapes vues ci-dessus.

 

 

 

 

Deux points quelconques et le rayon

Méthode par la médiatrice

 

Problème

*    Coordonnées du centre du cercle dont on sait qu'il passe par les deux ponts A et B et dont le rayon est connu.

 

Commentaires

*    La connaissance du rayon est nécessaire car par deux points passe une infinité de cercles.  D'ailleurs, avec nos deux points, nous verrons que nous avons deux cercles de même rayon.

*    Ce calcul est utile à ceux qui programment les machines-outils et qui utilisent l'interpolation circulaire.

 

Illustration

*      Deux points A et B de coordonnées: A = {-2; -1,5} et B = {3; 1,5}.

*      Le rayon est : r = 3.

*      Les deux cercles jaunes répondent à la question.


 

*      Le centre de ces cercles se trouve sur la médiatrice du segment AB (rouge)

*      Ces deux centres sont à la même distance r des points A et B (losange vert); ils sont à l'intersection des cercles de centre A et B et de rayon r (pointillés).

 

Méthode

*      Il suffit de donner l'équation des deux cercles pointillés et de trouver leur intersection.

*      C'est-à-dire, résoudre un système d'équations à deux inconnues (x et y)

*      L'équation du cercle étant une expression du second degré, deux jeux de solutions vont en découler.

*      Le calcul littéral est fastidieux et complexe. Nous allons prendre l'exemple numérique de la figure.

 

Calculs numériques

 

Équation du cercle en A

Équation du cercle en B

Équations développées

Soustraction

Substitution

 

 

 

 

Solution: abscisses

 

Voir Résolution de l'équation du second degré

Ordonnées

 

Calculs algébriques

Équation du cercle en A

Équation du cercle en B

Équations développées

Soustraction

 

 

 

On pose

 

Substitution

 

On pose


Solution: abscisses

Ordonnées

 

Formules littérales

Cette formulation est très lourde! Je la donne pour en montrer la complexité.

On pose

 

 

 

Valeur de x et x'

Valeur de y et y'

  (valeur développée encore plus complexe!)

 

Formulation développée de x (reprenant les éléments ci-dessus)

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*  Arc de cercle – Coordonnées du point milieu

*  Calcul de l'aire du cercle par intégrale

*  Cercle d'Apollonius

*  Théorèmes

*  Cercle unité et triplets de Pythagore

*  Programmation du dessin du cercle

Voir

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

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