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Terminale

 

Sommaire de cette page

>>> Fourmi sur un cylindre

>>> Représentation à plat des trajets de la fourmi

>>> Trajet le plus court

>>> Solution analytique

>>> Bilan

 

 

 

 

CYLINDRE CREUX – Trajet de la Fourmi

Comment déterminer les distances sur un cylindre?

Quelle est la longueur la plus courte d'un point à un autre?

Énigme de la fourmi qui se dirige au plus vite vers une goutte d'eau en circulant sur un récipient creux.

Problème similaire sur cylindre plein >>>

 Voir Fourmi sur pavé

 

 

FOURMI sur un CYLINDRE

 

Énigme

Une fourmi se trouve sur l'extérieur d'un cylindre creux (comme une boite de conserve ouverte ou un bocal de confiture).

Elle avise une goutte d'eau qui se trouve de l'autre côté mais  à l'intérieur. Plus précisément en un point diamétralement opposée à sa position.

Quel est le chemin le plus court pour atteindre la goutte d'eau?

 

Approche

La fourmi peut monter tout droit pour atteindre le bord, faire le tour sur le bord (un demi-périmètre) et descendre droit sur la goutte d'eau (trajectoire jaune). Sans doute pas le plus court chemin!

Nous avons l'intuition que: monter en biais atteindre le bord en N puis descendre en biais devrait faire gagner du chemin.

Comment le justifier et calculer les longueurs des chemins en jaune et en rouge.

 

Illustration

Exemple numérique: chemin en jaune

Cylindre de rayon: 3 cm; périmètre: 6 cm

Distance fourmi-bord en ligne droite: 4 cm

Distance goutte-bord en ligne droite: 4 cm

Ljaune  = 4 + 3 + 4 = 17,42 cm

Lrouge = ? Comment le calculer ?

 

 

Représentation à plat des trajets de la fourmi

 

Méthode de résolution de problèmes de trajectoires sur un cylindre

 

Une astuce pratique (géométrique) va permettre une résolution facile sans s'embarquer dans des calculs compliqués.

La solution analytique fait intervenir la dérivée d'une fonction du deuxième degré associée à une racine carrée couvrant une fonction du quatrième degré.

 

Imaginez que nous ayons collé une feuille de papier sur l'extérieur du cylindre et que nous avons fait la même chose sur la face intérieure. Nous coupons le cylindre le long d'une verticale et nous nous retrouvons avec deux feuilles en forme de rectangle.

Notons la position de la fourmi à une distance x du bord de coupe; vue de l'extérieur, la goutte se trouve un demi-tour plus loin, soit un demi-périmètre; alors, la distance de la goutte à l'autre bord de coupe est égal à P + P/2 – x = P/2 – x.

 

 

Comment y représenter le parcours de la fourmi?

Un trait sur le rectangle extérieur qui joint la fourmi au bord du cylindre, disons un point M. Et un trait sur le rectangle intérieur qui part de M pour rejoindre la goutte d'eau.

Choisissons le point M au sommet de notre verticale de coupe: coin supérieur droit du rectangle extérieur ou coin supérieur gauche du rectangle intérieur. C'est le point de passage du "sommet" pour la fourmi. Rejoignons les feuilles le long de la verticale de coupe. On note bien que la fourmi devra obligatoirement passer par le point "sommet" M pour passer du monde extérieur au monde intérieur.

 

Nous retrouvons le trajet jaune et le trajet rouge représentés sur ces surfaces développées. Tous les deux passent par F, M et G.

Il est maintenant évident que le rouge est plus court. Reste à trouver quel est le plus court parmi tous les trajets rouges possibles.

Notre intuition nous dit que ce sera le cas si M est au milieu, sur la médiatrice de FG. 

 

 

 

Trajet le plus court

 

Pour trouver le trajet le plus court, nous allons dessiner le symétrique du rectangle représentant l'intérieur du cylindre.

G' est symétrique de G: HG = HG'

HM est la médiatrice de GG': MG' = MG.

 

Les chemins FMG et FMG' sont de même longueur.

 

Par la relation d'inégalités des triangles:

FM + MG'  FG'

 

Le chemin le plus court, est donc atteint lorsque M est situé sur FG' avec

FM + MG' = FG'

 

Or M et N sont à la fois sur FG' et sur la médiatrice de GG'.

Les points M et N sont confondus.

 

 

 

 

Cette figure montre que le trajet minimal de la fourmi est le segment FNG' ou en retournant le dernier tronçon: FNG, avec FN = NG.

 

Application numérique

à comparer à 17,42 cm en suivant le bord.

 

Note: Cette démonstration géométrique est utilisée en optique: trajets réfléchis par les miroirs

 

 

Solution analytique

 

Plaçons le point M n'importe où sur le bord.

Le trajet le plus court est en ligne droite, propriété bien connue.

Reste à calculer la distance L et à chercher son minimum.

Toutes les valeurs concernées sont des longueurs donc des grandeurs positives. Nous pouvons travailler sur les carrés.

 

 

 

 

La longueur L = L1 + L2 est minimale pour M au milieu de PQ

 

En explicitant!:

 

Les calculs donnent bien la réponse, mais c'est très laborieux.

Sans expliciter les calculs (compliqués), la dérivée de L² est:

 

Qui est nulle pour: x = D / 2

 

 

Bilan

Le calcul du trajet le plus sur un cylindre creux ne présente pas de grande difficulté. Le développement du cercle sur un plan permet de résoudre ce problème. Faire bien attention au point de passage du trajet de l'extérieur à l'intérieur. La méthode du miroir (des symétries) permet de résoudre la figure.  

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Fourmi sur cylindre plein – Un problème un peu plus coriace!

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