NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

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Géométrie

 

Jeux et énigmes

Chèvre en général

Chèvre et carré

Chèvre et cercle

Fourmi sur cylindre

Chèvre et silo

Équation avec cercle

 

Sommaire de cette page

>>> Chèvre et le champ circulaire

>>> Bilan: lentille moitié

>>> Bonus: solution générale

 

>>> Solution algébrique

>>> Équation

>>> Bilan

 

 

 

 

 

Chèvre dans un pré circulaire,

attachée à l'enclos

Cheval, mouton dans le champ, 

La chèvre de Poincaré

 

La chèvre est dans un pré, attachée à une longe. Sans autre indication, elle peut brouter l'herbe sur une superficie égale à l'aire du disque. Et quand la corde subit des contraintes ? Objet de nombreuses énigmes, rarement simples à résoudre.

Ici, nous abordons le cas de l'enclos circulaire, avec longe attachée quelle part sur la clôture. Le problème passe pour être ardu. Deux solutions sont présentées. Toutes les deux conduisent à la même équation qui ne peut être résolue que par itérations.

Cette énigme n'est pas seulement une récréation mathématique. On trouve des applications en minimisation d'interférences mutuelles, optimisation de la performance des brouilleurs, calcul de compromis en installation des relais de communication pour téléphones cellulaires, etc.

Première publication connue de cette énigme en 1748, en Angleterre.

Anglais: Goat problem / The goat and the barn / Tethered goat problem /

The Mystery of the Grazing Goat

 

 

Chèvre et le champ circulaire – Solution géométrique

La longe de la chèvre est fixée en périphérie d'un champ circulaire.

 

Quelle est l'aire abordable par la chèvre?

 

Quelle est la longueur de la longue telle que cette aire soit égale à la moitié de l'aire du champ?

 

 

La première question consiste à calculer l'aire de la lentille, intersection entre deux cercles.

 

 

Avec les notations de la page de référence:

Se référer à cette page sur le calcul de l'aire de la lentille pour obtenir les formules indiquées ci-dessous.

 

R = 10 et R' = 7

 

Avec le centre du second cercle sur le premier, on a: distance entre centre:
OB = D = R = d + d'

 

H est la longueur du segment PQ.

Mesure de d

7,55

Mesure de d'

2,45

Mesure de H

6,55

Segment de cercle gauche:

22,00

Segment de cercle droit:

43,38

Aire de broutage:

65,38977768…

 

Bilan

Pas de formule simple! Pour trouvez quelle est la longueur R' de la longe telle que la surface à brouter (S) soit moitié de la superficie à brouter (consigne), on procède par essais successifs (dichotomie).

Exemple de calculs progressifs

 

Avec un cercle de rayon unité et un autre cercle de rayon r, l'aire de la lentille formée est moitié de celle du disque unité si:

r = 1, 158728470181215…

 

Bonus

La solution présentée est générale, même si le point d'attache n'est pas sur l'enclos, mais à l'extérieur. Il s'agit toujours de calculer l'aire de la lentille formée par l'intersection de deux cercles.

 

 

Chèvre et le champ circulaire – Solution algébrique

 

Le même problème. Ici, la solution consiste à trouver une équation à partir de la lecture d'une figure géométrique, puis à tenter de résoudre cette équation.

 

Après avoir évalué les angles alpha et béta, on calcule l'aire du secteur jaune, puis celle du segment bleu.

Relation entre les angles:

alpha = 70,81° 

béta   = 54,59°

Aire du secteur jaune:

Avec R' = 11,58

Aj = 59,75

Aire du segment bleu:

Avec R = 10

Ab = 19,16

Aire broutée = 2 x aire de zone colorée:

A = 157,07

Ok compte tenu l'angle alpha calculé à partir de la solution.

 

 

Équation pour obtenir l'aire moitié (aire jaune = aire verte)

Aire broutée = ½ aire disponible:

Division par R².

Dans le triangle OBD, en traçant la hauteur issue de O.

En remplaçant le rapport des rayons:

Équation finale:

Résolution :

Et la longueur de la longe pour R = 10 mètres:

 

Autre manière de présenter l'équation: avec cette identité sur l'angle moitié.

La formule est plus connue sous cette forme:

 

Bonus mathématique

En partant de la formule de l'aire de la lentille, on trouve également.

 

Formulation qui n'est pas plus simple!

Formule générale

 


 

Formule adaptée au cas R = D = 1 et en égalant à ½ cercle

et avec R' = x

 

Solution par intégration

Voir la référence Wikipédia en anglais qui s'intéresse également à la solution dans l'espace.

 

Bilan

Autant il n'est pas trop compliqué d'obtenir l'équation sous une forme ou une autre, autant il est difficile de la résoudre. Soit par approche tabulée et dichotomie, soit par la méthode itérative de Newton, soit avec un logiciel de calcul comme Maple.

Voir Résolution, graphe et développements trigonométriques autour de cette équation

 

 

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DicoNombre

*         Nombre 1,158…

Sites

*         La chèvre de Monsieur Poincaré – Serge Mehl

*         Goat Problem – Wikipedia

*         Goat Problem – Wolfram MathWorld

*         OEIS A133731 – Decimal expansion of goat tether length to graze half a unit field.

*         Grazing Animals – Ask Dr. Math

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http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Geometri/Chevre.htm