NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Hélice – Carte d'identité

>>> Longueur

>>> Longueur d'une spire d'hélice

>>> Longueur de plusieurs spires d'hélice

>>> Comparaison des deux méthodes

>>> Formule de calcul

>>> English corner

 

 

 

 

 

HÉLICE CIRCULAIRE ou CYLINDRIQUE

Longueur d'une forme hélicoïdale

 

 

Calcul de la longueur d'une hélice par la méthode du développement de l'hélice sur un plan.

 

 

 

Hélice – Carte d'identité

 

L'hélice est une courbe dans l'espace dont la tangente en tout point forme un angle constant avec une droite fixe.

C'est aussi le plus court chemin entre deux points sur un cylindre (hors deux points sur le même axe). Développée à plat, l'hélice est une droite.

 

On trouve cette courbe sur:

*    les ressorts

*    le filetage des vis,

*    les escaliers en colimaçon (notamment la main courante),

*    le solénoïde en électronique

*    l'ADN en double hélice,

*    les cornes de certains animaux,

*    les éléments de certaines plantes,

*    la course des écureuils autour d'un tronc d'arbre,

*    les bouclettes des cheveux

 

 

Longueur de l'hélice

H: longueur de l'hélice; 

l: la longueur d'une spire;

h: hauteur du cylindre;

p: le pas de l'hélice;

n: la quantité de spires (h = np);

r: rayon du cylindre; D son diamètre et P son périmètre (P =  D).

 

L'approximation est valable pour n grand ou h petit. Plus le nombre de spires est grand sur une petite hauteur, plus la longueur de l'hélice se rapproche de n fois le périmètre du cercle.

 

Pour n spires

 

Pour une spire

 

Équation paramétrique

 

Équation basées sur le fait que x et y définissent un point sur le cercle, pendant que z lui imprime un mouvement vertical uniforme.

Lorsque t = 2 (un tour), le point parcourt une spire, et il a progressé d'une hauteur égale à "c" (le pas de l'hélice).

 

 

x = r cos t

y = r sin t

z = c t

Voir Trigonométrie

 

Projections

La projection d'une hélice sur un plan perpendiculaire à l'axe est un cercle.

 

 

La projection d'une hélice sur un plan parallèle  à l'axe est une sinusoïde.

 

 

 

 

HÉLICE – Longueur

 

L'hélice est enroulée sur un cylindre. La méthode consiste à dérouler le fil de la spire sur un plan et appliquer le théorème de Pythagore.

 

Développement du cylindre

 

Voir Radian / Arctan

 

 

Suite …

Comment justifier le calcul indiqué ci-dessus? Prenons le cas simple d'une seule spire et voyons ce que cela donne pour plusieurs spires.

 

 

 

Longueur d'une spire d'hélice

 

Sur un cylindre, une spire d'hélice régulière.

Elle part d'un point sur le cercle du bas pour arriver au point sur le cercle d'en haut situé sur la même verticale. De sorte que la spire fait exactement un tour.

La résolution de ce type de problème consiste à pratiquer une coupe sur une verticale et à développer la surface latérale du cylindre sur un plan.

 

Imaginez que vous coupiez le cylindre le long d'une verticale et que vous le dérouliez. Vous obtiendrez un rectangle avec un trait oblique représentant la spire.

 

La spire (régulière) devient une droite et le théorème de Pythagore est appliqué.

 

 

Une spire sur un cylindre

 

 

L² = 10² + (6)² = 455,3

 

L = 21, 33 cm

 

 

 

Longueur de plusieurs spires d'hélice

 

Deux spires sur deux cylindres

 

En empilant deux cylindre de ce type, la longueur de l'hélice (deux spires sur 20 cm) devient évidemment 

 

2 x 21,33 = 42,66 cm

 

 

 

 

Deux spires sur un seul cylindre

 

Si, on conserve le cylindre initial (10 cm) pour y placer deux spires, il faut reprendre le calcul  avec deux cylindres de chacun 5 cm) 

 

Pour une spire:

S² = + (6)² = 380,3 = 19,5²

 

Pour deux spires:

L = 2 x 19,5 = 39 cm

 

 

 

 

 

Problème équivalent

En translatant le rectangle du haut, nous pouvons former une ligne droite continue qui représente les deux spires de l'hélice complète.

La droite est inscrite dans un rectangle dont:

*    la largeur est la hauteur du cylindre (10 xm), et

*    la longueur est égale à 2 fois le périmètre du cercle (2 x 6).

 

 

 

Bilan

Nous venons de montrer avec quelques dessins géométriques que la longueur de l'hélice peut se calculer soit en calculant n fois la longueur d'une spire ou en calculant globalement la longueur avec la formule indiquée 

 

 

Formule de calcul

 

Plusieurs spires sur un seul cylindre

 

La formule de calcul devient:

 

Approximation valable si n grand et h petit

Avec h = 10 cm et r = 3 cm, on obtient une bonne approximation dès n = 5 spires.

 

Notre exemple numérique (graphes =>)

 

La formule devient:

 

 

Courbe pour L (verte) et son approximation (rouge)

Pour n = 5, L = 94,778 et l'approximation vaut 94,248, soit un écart de 0,5%.

 

 

 

 

English corner

Helix; plural: helixes or helices;

Sometimes: coil

 

 

A curve on the surface of a cylinder or cone such that its angle to a plane perpendicular to the axis is constant; the three-dimensional curve seen in a screw or a spiral staircase.

 

 

Problème

Un cylindre: rayon 4 cm et hauteur 8 cm.

Une fourmi avance sur la surface du cylindre. Elle parcourt le plus court chemin depuis un point du haut jusqu'à un point du bas, à l'opposé. Quelle est la distance parcourue par la fourmi?

 

Le cylindre peut être imaginé comme un rectangle enroulé avec une longueur de 8 cm et une largeur égale à la circonférence du cercle, soit 2 x 4 cm. La fourmi n'en fait que la moitié.

La distance parcourue est donc:

 

 

Problem

A cylinder with height 8 and radius 4. An ant walks across this cylinder along the shortest path on the curved surface from the top corner to the bottom corner on the other side (opposite side of the cylinder). What is the distance that the ant travels?

 

Your cylinder can be thought of as a rolled up rectangle, with height 8 and width 8. So your distance will be: 14,9 cm.

 

Voir Anglais, le bagage minimum

 

 

 

 

Suite

*    Fourmi sur un cylindre

Voir

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*    Cône

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