NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 31/08/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Polygones
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		Sommaire de cette page >>> Approche – Le plus petit golygone >>> Un golygone d'ordre 1 (16 côtés) >>> Golygones – Propriétés: n = 8k >>> Quantité de golygones >>> Types de golygones

GOLYGONE

Isogone à 90° sériel

Polygone à angles droits dont les côtés mesurent successivement les nombres entiers de 1 à n.

Inventés par Lee Sallows en 1988 et popularisés en 1990 par Alexander Dewdey dans un article du Scientific American. Leur étude a été menée conjointement par quatre éminents mathématiciens: Lee Swallows, Martin Gardner, Richard Guy et Donald Knuth.

 Anglais: Golygons, serial isogons

Approche – le plus petit golygone
On montre assez facilement que le plus petit golygone compte huit côtés (n = 8). Son périmètre est la somme des nombres de 1 à 8 = 8 x 9 / 2 = 36. L'aire de ce polyomino est égale à 52. Il est inscrit dans un rectangle de 10 x 8. La quantité de côtés est paire; le nombre final est pair (ici n = 8 = 2m = 2 x 4). Ses côtés opposés sont de même parité par exemple 6 et 8 en horizontal, ou en vertical: 5 et 7. La somme des longueurs horizontales est nulle en tenant compte de leur orientation; de même pour la somme verticale. La somme des longueurs vaut verticales: m² = 4² horizontales: m (m + 1) = 4 x 5. (somme des pairs et des impairs) Le golygone à huit côtés permet le pavage du plan et c'est le seul golygone à le faire.	Golygone à huit côtés Sommes des longueurs des côtés 1 – 3 – 5 + 7 = 0; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² 2 – 4 – 6 + 8 = 0; 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4 x 5 Pavage du plan avec les golygones (n = 8)

Un golygone d'ordre 2 (16 côtés) – Rectangle 32 x 36

Golygones – Propriétés: n = 8k
On va montrer que la quantité de côtés est un multiple de 8.	n = 8k ?
On sait qu'il est pair car il y autant de segments horizontaux que verticaux	n = 2m
La somme des longueurs des côtés verticaux (le premier étant vertical) est égale à la somme des nombres impairs de 1 à 2m – 1	Sv = 1 + 3 + … 2m – 1 = m²
La somme des longueurs montante et égale à la somme des longueurs descendantes. On peut donc diviser la longueur totale par 2:	m² est pair et m est pair.
La somme des longueurs des côtés horizontaux est égale à la somme des nombres pairs de 2 à 2m	SH = 2 + 4 + … + 2m = m (m + 1)
La somme des longueurs vers la droite est paire, car somme de nombres pairs. Idem pour la gauche. On peut donc diviser la longueur totale par 2:	SHD = SHG = ½ m (m + 1) = 2a m (m + 1) est divisible par 4
Le produit de nombres consécutifs est pair, car l'un des deux est pair	Or m est pair Donc m + 1 est impair
Si m (m + 1) est divisible par 4 et m + 1 est impair	m est divisible par 4
Or n = 2m	n est divisible par 8. N = 8k

Quantité de golygones
Un seul avec huit côtés (n = 8, k = 1) Deux sortes de golygones: ceux dont les côtés ne se croisent par et ceux avec croisements. N est la quantité totale et N' est la quantité avec non croisement. Autant le calcul de N est assez simple par programmation, autant celui de N' est compliqué et exige de grand temps de calcul.

TYPES de golygones
Golygones à 90° selon croisement des côtés: avec ou sans; selon longueur horizontale et verticale égale, le plus contrasté (golygone le plus aplati possible); selon longueurs des côtés nombres consécutifs, nombres en progression arithmétique, nombres premiers successifs (impossible), etc. Golygones à angle différent (dit alpha-golygones) alpha = 60°, Exemple à neuf côtés. Le plus petit avec n => alpha minimisant la quantité de côtés. Golyèdres (4 connus et découverts en 2014).

Suite	Polygone – Index Polyominos
Voir	Construction géométrique des nombres Décagone Ennéagone Géométrie – Index Octogone semi-régulier
DicoNombre	Nombre 8 Culture 8
Articles	Une synthèse sur ce sujet, écrite par Jean-Paul Delahaye, est parue dans le n°443 de septembre 2014 de pour la Science. Promenades carrées et cubes collés Curieuse promenade en circuit fermé au cœur de Golygon City – Dewdey – Pour la Science n°155 de 1990
Sites	Serial isogons of 90 degrees – Lee Salows, Martin Gardner, Richard Guy et Donald Knuth New Pathways in Serial Isogons – Lee C. Sallows Quantité de golynomes jusqu'à k = 100
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/Golygone.htm