NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 29/04/2015

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Polygones

 

Débutants

Géométrie

Polygones amusants

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

Polygones

Golygones

 

Sommaire de cette page

>>> Approche – Le plus petit golygone

>>> Un golygone d'ordre 1 (16 côtés)

>>> Golygones – Propriétés: n = 8k

>>> Quantité de golygones

>>> Types de golygones

 

 

 

 

 

 

 

GOLYGONE

Isogone à 90° sériel

 

Polygone à angles droits dont les côtés mesurent successivement les nombres entiers de 1 à n.

Inventés par Lee Sallows en 1988 et popularisés en 1990 par Alexander Dewdey dans un article du Scientific American. Leur étude a été menée conjointement par quatre éminents mathématiciens: Lee Swallows, Martin Gardner, Richard Guy et Donald Knuth.

 

 Anglais: Golygons, serial isogons

 

 

Approche – le plus petit golygone

 

 

 

*      On montre assez facilement que le plus petit golygone compte huit côtés (n = 8).

*      Son périmètre est la somme des nombres de 1 à 8 = 8 x 9 / 2 = 36.
L'aire de ce polyomino est égale à 52.

Il est inscrit dans un rectangle de 10 x 8.

*      La quantité de côtés est paire; le nombre final est pair (ici n = 8 = 2m = 2 x 4).

*      Ses côtés opposés sont de même parité

*      par exemple 6 et 8 en horizontal, ou

*      en vertical: 5 et 7.

*    La somme des longueurs  horizontales est nulle en tenant compte de leur orientation; de même pour la somme verticale.

*    La somme des longueurs vaut

*    verticales: m² = 4²

*    horizontales: m (m + 1) = 4 x 5.
  (somme des pairs et des impairs)

 

 

*    Le golygone à huit côtés permet le pavage du plan et c'est le seul golygone à le faire.

 

Golygone à huit côtés

 

Sommes des longueurs des côtés

 

1 – 3 – 5 + 7 = 0; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

2 – 4 – 6 + 8 = 0; 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4 x 5

 

Pavage du plan avec les golygones (n = 8)

 

 

 

Un golygone d'ordre 2 (16 côtés) – Rectangle 32 x 36

 

Golygones – Propriétés: n = 8k

*      On va montrer que la quantité de côtés est un multiple de 8.

n = 8k ?

*    On sait qu'il est pair car il y autant de segments horizontaux que verticaux

n = 2m

*    La somme des longueurs des côtés verticaux (le premier étant vertical) est égale à la somme des nombres impairs de 1 à 2m – 1

Sv = 1 + 3 +  … 2m – 1 = m²

*    La somme des longueurs montante et égale à la somme des longueurs descendantes. On peut donc diviser la longueur totale par 2:

m² est pair et

m est pair.

*      La somme des longueurs des côtés horizontaux est égale à la somme des nombres pairs de 2 à 2m

SH = 2 + 4 + … + 2m = m (m + 1)

*    La somme des longueurs vers la droite est paire, car somme de nombres pairs. Idem pour la gauche. On peut donc diviser la longueur totale par 2:

SHD = SHG = ½ m (m + 1) = 2a

 

m (m + 1)  est divisible par 4

*    Le produit de nombres consécutifs est pair, car l'un des deux est pair

Or m est pair

Donc  m + 1 est impair

*    Si m (m + 1) est divisible par 4 et m + 1  est impair

m est divisible par 4

*    Or n = 2m

n est divisible par 8.

N = 8k

 

 

Quantité de golygones

 

*    Un seul avec huit côtés (n = 8, k = 1)

*      Deux sortes de golygones: ceux dont les côtés ne se croisent par et ceux avec croisements. N est la quantité totale et N' est la quantité avec non croisement.

*      Autant le calcul de N est assez simple par programmation, autant celui de N' est compliqué et exige de grand temps de calcul.

 

 

TYPES de golygones

 

*    Golygones à 90°

*    selon croisement des côtés: avec ou sans;

*    selon longueur horizontale et verticale

*    égale,

*    le plus contrasté (golygone le plus aplati possible);

*    selon longueurs des côtés

*    nombres consécutifs,

*    nombres en progression arithmétique,

*    nombres premiers successifs (impossible),

*    etc.

*    Golygones à angle différent (dit alpha-golygones)

*    alpha = 60°,                   

Exemple à neuf côté. Le plus petit avec n =>

*    alpha minimisant la quantité de côtés.

*    Golyèdres (4 connus et découverts en 2014).

 

 

 

 

 

 

Suite

*       PolygoneIndex

*       Polyominos

Voir

*       Construction géométrique des nombres

*       Décagone

*       Ennéagone

*       GéométrieIndex

*       Octogone semi-régulier

DicoNombre

*       Nombre 8

*       Culture 8

Articles

*       Une synthèse sur ce sujet, écrite par Jean-Paul Delahaye, est parue dans le n°443 de septembre 2014  de pour la Science.

Promenades carrées et cubes collés

*       Curieuse promenade en circuit fermé au cœur de Golygon City – Dewdey – Pour la Science n°155 de 1990

Sites

*       Serial isogons of 90 degrees – Lee Salows, Martin Gardner, Richard Guy et Donald Knuth

*       New Pathways in Serial Isogons – Lee C. Sallows

*       Quantité de golynomes jusqu'à k = 100

Cette page

 http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/Golygone.htm