NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Polygones

 

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Polygones

Géométrie

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Sommaire de cette page

>>> Quelques décagones

>>> Décagone régulier

>>> Calcul sur un angle

>>> Nombre d'or

>>> Apothème

>>> Relations a, p , r

>>> Décagone et triangles équilatéraux

>>> Fleurs

>>> Dodécagone régulier et ses diagonales

>>> Exercice de calcul des longueurs

 

                                                                                                                     

 

 

DÉCAGONE

Polygone à 10 côtés.

 

Du grec deka: dix et gônia: angle. Figure plane à dix angles et dix côtés.

 

 

Quelques DÉCAGONES

 

 

Décagone régulier – Angles et aire

Aire du dodécagone avec a la  mesure de son côté:

 

 = 7,6942088429381335065…  a2

 

 = 2,5 d.a = 5 p.a

avec d distance entre deux côtés parallèles

et p l'apothème.

 

En effet: aire du triangle bleu = ½ p.a;

à multiplier par 10 pour le décagone complet.

 

 

Présence de l'angle de 36° = Pi/5

Notez les angles dessinés en bleu

Voir Angle 36° / Nombre 36

 

 

 

Calcul sur un angle

 

Question

 

Donnez la valeur de l'angle HJD.

 

Réponse

1) Un polygone régulier s'inscrit dans un cercle (cercle qui passe par les dix sommets). Le point O est son centre.

 

Les rayons (OA, OB …) joignant chacun des dix sommets forment dix angles (AOB, BOC ...).

La somme de ces angles vaut 360°.

 

Chacun de ces angles au centre intercepte des cordes égales (les cotés du décagone), ces angles sont égaux*.

Chacun mesure: 360 / 10 = 36°

 

* au choix: sont égaux, sont isométriques, ont la même mesure.

 

 

2) Le triangle AOJ, ayant deux côtés égaux (OA et OJ qui sont des rayons du cercle) est isocèle: angle JAO = angle AJO.

Or, la somme des angles dans un triangle est 180°: Angle AOJ + 2 x angle AJO = 180°

 

Angle AOJ vaut 36° (vu au 1)):                                      Angle AJO = (180 – 36) / 2 = 72°

Un angle du dodécagone tel que AJI = AJO + IJO vaut deux fois cette valeur: 144°

 

3) Nous devons calculer la mesure de l'angle HJD, de sommet J.

De ce sommet sont issus huit angles égaux, car ils interceptent tous la même corde.

Chacun mesure 144 / 8 = 18°.

 

L'angle HJD englobe quatre de ces angles: Angle HJD = 4 x 18 = 72°

 

Alternative

L'angle au centre HOD  = 4 x 36 = 144°.

L'angle inscrit qui intercepte le même arc (HD) vaut la moitié: 144 / 2 = 72°.

 

Remarque

En prenant l'angle IJD qui englobe cinq angles élémentaires, nous trouvons 5 x 18 = 90°.

Nous retrouvons, la propriété classique: un angle inscrit qui intercepte un diamètre est un angle droit.

 

 

 

 

Nombre d'or

 

*    Le nombre d'or se retrouve dans le décagone comme dans le pentagone.


 

 

OA: rayon du cercle circonscrit.

AB: côté du décagone régulier convexe. 

AD: côté du décagone étoilé.

FD: coté du pentagone régulier convexe.

FB: côté du pentagone étoilé

 

Démonstration 

 

Rayons OA et OB sont égaux

Triangle 0AB isocèle

Angle au sommet 0 = 36° (1)

Angles en A et B  = 72° (2)

Arcs BD et DF égaux

Angles BAD et DAF égaux (1)

AD bissectrice de OAB

Angles AOB et OAM égaux à 36° (1)

Triangle AMO isocèle

MA = MO

Triangle ABM: somme des angles = 180°

Angle MAB (36°) et ABM (72°)

=> angle BMA = 72° (type 2)

Angles égaux AMB et MBA

Triangle ABM isocèle

=> AB = AM = MO

Bissectrice AD et son théorème

En ramenant tout sur OB, compte tenu des égalités trouvées

Division en moyenne et extrême raison, définition du nombre d'or.

Cas du pentagone de côté BD

BD = DF

BDF isocèle

Angle 36° (type (1)

Triangles BDF et AMO

Semblables

Rapport

 

 

Apothèmes

*    Décagone, occasion de montrer les propriétés de l'apothème.

Angle ABF et angle ADF interceptent un diamètre

Ce sont des angles droits

Apothème OH du décagone

Angle droit en H

OH et FB sont parallèles

Triangle ABF et Thales

Conclusion

OH = ½ FB

Même démo.

OL = ½  FD

 

OM = ½ AD

Voir Bases de géométrie

 

Tableau des relations

Entre a le côté, r le rayon du cercle circonscrit et p l'apothème

Voir Nombre d'or et trigonométrie / Angles du pentagone et trigo

 

 

Décagone et triangles équilatéraux / pentagones

 

Notez les points d'intersection selon la taille des triangles équilatéraux (figure de gauche, matérialisés par le rectangle) et, selon celle des pentagones réguliers (figure de droite).

 

 

 

Fleurs

 

*      Certaines fleurs, mais c'est rare, disposent de:

 

*  dix pétales
Ici: passiflore.

 

 

ou

 

 

*  cinq pétales fortement divisés

Ici: silène avec détail de la corolle.

 

 

 

 

 

 

 

et, sakura

 

 

 

 

 

 

*      Note: les rosacées (rosier et la plupart des arbres fruitiers) ont, en général, 5 pétales et 5 sépales.


Ici, la rose Belle de Crécy.

 

Silène.jpgSilène.jpgsakura_01.png

Voir Phyllotaxie

 

 

Décagone régulier et ses diagonales

Longueur de la diagonale k, avec k la quantité de côtés interceptés par la diagonale.

 

k

Longueur

Formule

2

1,902113033

3

2,618033989

4

3,077683538

 

5

3,236067977

Voir Son calcul / Tables / Quantité d'intersections des diagonales

 

 

Diagonales du décagone – Calcul des longueurs

Exercice de géométrie

 

Angle au sommet interceptant un côté

*     

Diagonales

*      d1 = AF =  D

*      d2 = AG = AE = BF = 2r

*      d3 = AD

*      d4 = AC

 

Rayon des cercles

*      circonscrit: MF = R = D/2

*      inscrit: MP = r

 

Apothème

*      MP = FB/2 =  r

 

Calculs des longueurs pour une longueur du côté: a = 10.

 

Grande diagonale d1 = AG, diamètre du cercle circonscrit (D):

Deuxième diagonale, diamètre du cercle inscrit, 2 x apothème:
d2 = 2r = FB

Petite diagonale d4 = AC:

Deuxième diagonale d2 = AD:

 

 

 

 

Suite

*       Rosaces à dix pétales

*       Construction du décagone

*       Nombres décagonaux

*       Dissection du décagone en carré

*       Pavage de Penrose

*       Dodécagone

*       Icosagone

*       Construction de l'heptagone à partir d'un décagone

Retour

*       Pentagone

Voir

*       Calcul de Pi

*       Construction géométrique des nombres

*       GéométrieIndex

*       Polygone

*       Pavage avec polygones

*       Partage du cercle en parts égales

*       Hexagone – Généralités 

Diconombre

*       Nombre   7,69...

*       Nombre 10

Livre

*     Le nombre d'or – Marius Cleyet-Michaud – puf - 1973

Site

*       Construction animée du décagone - Wikipedia

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/Decagone.htm