NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

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Polygones – Propriétés  

Tectoèdres

Diagonales

 

Sommaire de cette page

>>> Polygones réguliers – Propriétés générales

>>> Polygones non réguliers

>>> Angles

>>> Aires

>>> Cercles inscrits & circonscrits

>>> Longueur des diagonales

>>> Constructibilité des polygones

 

 

 

 

 

Polygones réguliers – PROPRIÉTÉS

(Les côtés sont congruents et les angles sont congruents)

 

*    Orientation générale  

(portail)

>>>

*    Noms des polygones

(pentagone, hexagone …)

>>>

*    Types de polygones

(convexe, régulier …)

>>>

*    Propriétés

(angles, aires, cercles …)

>>>

 

 

POLYGONES RÉGULIERS – Propriétés générales

 

cn la mesure du côté du polygone;

P est le périmètre;

an la mesure de l'apothème, rayon du cercle inscrit;

 

Rayon du cercle circonscrit:

R = OA

 

Angle au sommet:

 

 

Angle au centre:

 

 

Somme des angles internes (au sommet)

Angle interne (au sommet)

Angle au centre (et définition de T pour la suite)

Côté du polygone

Apothème

Distances 

Théorème de Viviani

Dans un polygone régulier, la somme des distances d'un point intérieur quelconque aux côtés, est constante; c'est celle obtenue en plaçant le point au centre du cercle inscrit.

Diagonales – Quantité

 

De chaque  sommet partent (n – 1) segments dont deux sont des côtés et, en comptant cela pour les n sommets, on doublonne le compte. D'où la formue.

Exemples:

Pentagone:   Qd = ½ (5 x 2) = 5

Hécatogone: Qd = ½ (100 x 97) = 4 850

Diagonales – Longueur

Pour tout polygone régulier (n > 4), si la plus grande diagonale mesure d et la suivante en longueur e, alors:   d – e = 1/ d

Voir Longueur des diagonales / Heptagone

Rayon du cercle circonscrit

Aire

Côté du polygone doublé

Aire du polygone doublé

 

 

Polygones non réguliers – Attention!

Deux octogones dont l'un a pour sommet les points au 1/3 et 2/3 des côtés du carré. Ses angles sont égaux mais ses côtés ne le sont pas.

 

 

 


Un heptagone formé de deux carrés et trois triangles équilatéraux. Ses côtés sont égaux mais ses angles ne le sont visiblement pas.

Un polygone est régulier si ses côtés sont égaux et ses angles sont égaux.

 

 

Angles des polygones réguliers

 

Exemple avec l'heptagone (7 côtés)

 

Angle au centre

Angle externe ou extérieur (au sommet)

Angle interne ou intérieur (au sommet)

 

 

Sommes des angles:

*    au centre: 360° =

*    internes: 7 x 128,57 = 900° =

*    externes: 7 x 231,43 = 1 620° =

 

Remplacez 7 par n pour un polygone régulier à n côtés.

 

 

Somme des angles

Voir Somme des angles dans les polygones / Supplément d'angle

 

Valeurs des angles internes au sommet

 

 

 

Angle en nombres entiers

Quels sont les angles dont la valeur est un nombre entier en degrés?

En reprenant la formule (A = 180 – 360/n), il faut que n soit un diviseur de 360 = 23 x 32 x 5

La quantité de diviseur de 360 est : (3+1) x (2+1) x (1+1) =  24

dont 1 et 360 à écarter.

 

Il y a 22 types de polygones réguliers

dont les angles intérieurs sont des nombres entiers en degrés.

 

 

 

AIRES des polygones réguliers

 

Formule générale

 

 

Cas particuliers de calculs avec radicaux

 

Valeurs (pour longueur du côté a = 1)

 

 

 

 

 CERCLES INSCRITS & CIRCONSCRITS

 

Formules et fonctions disponibles sur la calculette

 

Pour le polygone à n côtés

 

 

 

Apothème: distance du centre à chacun des côtés.

 

Voir Cercle inscrit / Cercles inscrits et circonscrits / Calcul de Pi avec polygones

 

 

 

Longueur des diagonales

 

Longueur de la diagonale AD du décagone, comme exemple et généralisation.

 

C'est la base du triangle isocèle AMD.

Son côté AM est le rayon du cercle circonscrit.

Lequel est l'hypoténuse du triangle rectangle APM.

 

Valeur des angles

 

 

k est la quantité de côtés interceptés par la diagonale.

 

Rayon du cercle circonscrit: AM = R

Longueur de la diagonale pour k = 3: AD

Voir Tables  des valeurs pour n de 4 à 30

 

ff

 

CONSTRUCTIBILITÉ

 

Théorème de Gauss

 

Il est possible de diviser la circonférence en un nombre impair de parties égales si, et seulement si, le nombre est un nombre premier de Fermat: 3, 5, 17, 257, 65 537 …

 

Suite en  Constructions Géométriques – Constructibles / ConstructionsIndex

 

Construction des polygones

 

Peut-on diviser un cercle en un nombre quelconque de parts avec une règle et un compas?

Si oui, on peut construire le polygone régulier inscrit dans ce cercle

 

Suite en  Constructions Géométriques – Polygones

 

 

 

 

 

Suite

*    Polygones magiques

*    Polygones – Pavage

*    Diagonales dans les polygones

*    Quantité de triangles dans le polygone

*    Quantités de régions et d'intersections dans le polygone

*    PolygonesIndex

Voir

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*    Radian

*    Triangles

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*    Nombre 180

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Sites

*      Polygone régulier – Wikipédia

*      Properties of Regular Polygons – Math is Fun

*      Regular Polygon – Wolfram MathWorld

*    Regular Polygon Calculator – Online calculator

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Polygon1.htm