NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/02/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Polygones réguliers – PROPRIÉTÉS

(Les côtés sont congruents et les angles sont congruents)

Orientation générale	(portail)	>>>
Noms des polygones	(pentagone, hexagone …)	>>>
Types de polygones	(convexe, régulier …)	>>>
Propriétés	(angles, aires, cercles …)	>>>

FORMULES: aire du polygone régulier

n: quantité de côtés c: longueur du côté R: rayon du cercle circonscrit r: apothème ou rayon du cercle inscrit

Cas du pentagone

POLYGONES RÉGULIERS – Propriétés générales
cn la mesure du côté du polygone; P est le périmètre; an la mesure de l'apothème, rayon du cercle inscrit; Rayon du cercle circonscrit: R = OA Angle au sommet: Angle au centre:
Somme des angles internes (au sommet)
Angle interne (au sommet)
Angle au centre (et définition de T pour la suite)
Côté du polygone
Apothème
Distances Théorème de Viviani	Dans un polygone régulier, la somme des distances d'un point intérieur quelconque aux côtés, est constante; c'est celle obtenue en plaçant le point au centre du cercle inscrit.
Diagonales – Quantité	De chaque sommet partent (n – 1) segments dont deux sont des côtés et, en comptant cela pour les n sommets, on doublonne le compte. D'où la formue. Exemples: Pentagone: Qd = ½ (5 x 2) = 5 Hécatogone: Qd = ½ (100 x 97) = 4 850
Diagonales – Longueur	Pour tout polygone régulier (n > 4), si la plus grande diagonale mesure d et la suivante en longueur e, alors: d – e = 1/ d Voir Longueur des diagonales / Heptagone
Rayon du cercle circonscrit
Aire
Côté du polygone doublé
Aire du polygone doublé

Polygones non réguliers – Attention!
Deux octogones dont l'un a pour sommet les points au 1/3 et 2/3 des côtés du carré. Ses angles sont égaux mais ses côtés ne le sont pas.	Un heptagone formé de deux carrés et trois triangles équilatéraux. Ses côtés sont égaux mais ses angles ne le sont visiblement pas.
Un polygone est régulier si ses côtés sont égaux et ses angles sont égaux.

Angles des polygones réguliers
Exemple avec l'heptagone (7 côtés) Angle au centre Angle externe ou extérieur (au sommet) Angle interne ou intérieur (au sommet) Sommes des angles: au centre: 360° = internes: 7 x 128,57 = 900° = externes: 7 x 231,43 = 1 620° = Remplacez 7 par n pour un polygone régulier à n côtés.
Somme des angles Voir Somme des angles dans les polygones / Supplément d'angle Valeurs des angles internes au sommet

Angle en nombres entiers

Quels sont les angles dont la valeur est un nombre entier en degrés?

En reprenant la formule (A = 180 – 360/n), il faut que n soit un diviseur de 360 = 2³ x 3² x 5

La quantité de diviseur de 360 est : (3+1) x (2+1) x (1+1) = 24

dont 1 et 360 à écarter.

Il y a 22 types de polygones réguliers

dont les angles intérieurs sont des nombres entiers en degrés.

AIRES des polygones réguliers
Formule générale Cas particuliers de calculs avec radicaux Valeurs (pour longueur du côté a = 1) Pour info: les premières valeurs des cotangentes, toutes irrationnelles sauf pour k = 2 ou 4. Théorème Sauf pour le carré, pour tout polygone régulier, y compris le triangle équilatéral, les coordonnées d'au moins un sommet sont irrationnelles.

Voir Méthodes de calcul de l'aire des polygones quelconques / Aire du polygone à partir de triangles

CERCLES INSCRITS & CIRCONSCRITS

Formules et fonctions disponibles sur la calculette

Pour le polygone à n côtés

Sur la calculette

Apothème: distance du centre à chacun des côtés.

Voir Cercle inscrit / Cercles inscrits et circonscrits / Calcul de Pi avec polygones

Cercles gigognes et polygones emboités

Longueur des diagonales
Longueur de la diagonale AD du décagone, comme exemple et généralisation. C'est la base du triangle isocèle AMD. Son côté AM est le rayon du cercle circonscrit. Lequel est l'hypoténuse du triangle rectangle APM. Valeur des angles k est la quantité de côtés interceptés par la diagonale.
Rayon du cercle circonscrit: AM = R
Longueur de la diagonale pour k = 3: AD

Voir Tables des valeurs pour n de 4 à 30

CONSTRUCTIBILITÉ

Théorème de Gauss Il est possible de diviser la circonférence en un nombre impair de parties égales si, et seulement si, le nombre est un nombre premier de Fermat: 3, 5, 17, 257, 65 537 … Suite en Constructions Géométriques – Constructibles / Constructions – Index Construction des polygones Peut-on diviser un cercle en un nombre quelconque de parts avec une règle et un compas? Si oui, on peut construire le polygone régulier inscrit dans ce cercle Suite en Constructions Géométriques – Polygones

Suite	Polygones magiques Polygones – Pavage Diagonales dans les polygones Quantité de triangles dans le polygone Quantités de régions et d'intersections dans le polygone Polygones – Index
Voir	Géométrie – Index Illusions d'optique Polyèdres Radian Théorème de Pick Triangles
DicoNombre	Nombre 180 Nombre 360
Sites	Polygone régulier – Wikipédia Properties of Regular Polygons – Math is Fun Regular Polygon – Wolfram MathWorld Regular Polygon Calculator – Online calculator
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